概率统计与机器学习：期望，方差，数学期望，样本均值，样本方差之间的区别

1.样本均值：我们有n个样本，每个样本的观测值为Xi，那么样本均值指的是 1/n * ∑x(i)，求n个观测值的平均值

2.数学期望：就是样本均值，是随机变量，即样本数其实并不是确定的

PS：从概率论的角度而言：样本指的是我们现在有多少东西需要去观测，它是一种随机变量，即样本的多少是不确定的，我们得到的样本均值并不是真正意义上的期望。

3.期望：已知其观测值f（x）及其概率P，求其观测值与概率乘积的累加和，∑Xi*Pi

PS：期望是一种固定值，他的观测值是基于已知某几类数值及其概率，是不同于数学期望中的观测值Xi的，数学期望的观测值有一点取决于样本数量的味道，也就是求和这里的n其实是不同的

4.方差：先看一下方差的公式

直观的说就是：观测值f(x)与其期望相减的差值的期望

换言之：方差反应的是观测值与其期望的偏差

PS：因为是与期望相减，所以这里的方差本质也是一个固定值而非随机变量

5.样本方差：

这里的观测值减去的是均值！均值的意思就是原本物质所存在的均值，即 1/n * ∑x(i)

而实际上我们可以得知方差的求解应该减去的是期望才对，其中的缘故在于我们并不能得知真正的期望是多少，

只能通过随机变量的样本求得一个近似的值来预估期望，即利用下式来证明：

，当theta值是样本均值的时候，该式值最小（每个值减他们总和的均值）

那么同理返回样本方差的等式，上式最小意味着利用样本均值求解样本方差会把真实方差算小了

因此将N处理成N-1来增大样本方差的值

引出两个结论：

（a）当分母为N-1的时候，是我们对方差做的一个无偏估计

（b）当分母为N的时候，是我们对方差做的一个极大似然估计

做一个小总结：

样本均值是数学期望，求的是n个观测值的平均值，而期望指的是观测值及其概率的乘积的累加和
在样本足够多的情况下，可以理解为样本均值趋近于期望E

即：1/n*∑x(i) ≈ ∑p(i)*x(i)

方差的本质是固定不变的，得到的是这个状态正儿八经与期望的偏差，

而样本方差是随机变量，得到的是也是一种偏差，只不过这种偏差是对正确偏差的一种估计值。

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