IEEE-754 64位双精度浮点数存储详解
IEEE-754双精度浮点数
IEEE二进制浮点数算术标准(IEEE 754)规定了四种表示浮点数值的方式:单精确度(32位)、双精确度(64位)、延伸单精确度(43比特以上,很少使用)与延伸双精确度(79比特以上,通常以80位实现),本文介绍64位双精度浮点数。
存储结构
IEEE-754双精度浮点数(double floating-point)存储为64bit,由符号位(s)、有偏指数(e)、小数部分(f)组成:
组成 | 描述 | 位数 | 位置 |
---|---|---|---|
sign | 符号,0表示正,1表示负 | 1bit | 63 |
exponent | 指数部分 | 11bit | 52-62 |
fraction | 小数部分 | 52bit | 0-51 |
类型划分
11位的指数部分可存储00000000000 ~ 11111111111(十进制范围为0 ~ 2047),取值可分为3种情况:
- 11位指数不为00000000000和11111111111,即在00000000001 ~ 11111111110(1 ~ 2046)范围,这被称为规格化。
- 指数值为00000000000(0),这被称为非规格化
- 指数值为11111111111(2047),这是特殊值,有两种情况:
- 当52位小数部分f全为0时,若符号位是0,则表示+Infinity(正无穷),若符号位是1,则表示-Infinity(负无穷)
- 当52位小数部分f不全为0时,表示NaN(Not a Number)
规格化
规格化下,浮点数的形式可表示为:
(−1)s×1.bbb⋯b⏟f(有效52位)(ccc⋯⏟53位及以后)×2e−1023(0<e<2047)(-1)^s\times1.\underbrace{bbb\cdots b}_{f(有效52位)}(\underbrace{ccc\cdots}_{53位及以后})\times2^{e-1023} \quad (0< e < 2047)(−1)s×1.f(有效52位)bbb⋯b(53位及以后ccc⋯)×2e−1023(0<e<2047)
其中:
s
为0或1,0表示正数,1表示负数,对应1bit的符号位f
为52位有效位,其中的每一位b
是0或1,对应52bit的小数部分(不足52位补0)c
是超出52位的部分(如果有的话,需要舍入(精度会丢失),规则下述)e
为十进制数值,其11位的二进制数值对应11bit的指数部分1023
为移码
,移码值为 2n−1−12^{n-1}-12n−1−1,这里的n表示指数位数,对于64bit的双精度存储,n是11
十进制中,12345可表示为1.2345×1041.2345\times10^41.2345×104;二进制中,10011可表示为1.0011×241.0011\times2^41.0011×24
先看个简单例子,计算2.25的双精度浮点数:
2.25转为二进制为10.01,10.01转为上述表示法为 1.001⏟f×211.\underbrace{001}_{\scriptsize{f}}\times2^11.f001×21,可得:
- 数值为正,因此符号位是0
- 小数为001,不足52位,补0,得到
0010000000000000000000000000000000000000000000000000⏟001后49个0共52位\underbrace{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}_{001后49个0\quad共52位}001后49个0共52位0010000000000000000000000000000000000000000000000000 - 指数e-1023 = 1,则 e = 1024,二进制值为10000000000⏟11位\underbrace{10000000000}_{11位}11位10000000000
综上,将1位符号、11位指数、52位小数整合可得到2.25的双精度浮点数表示:
0⏟s10000000000⏟e0010000000000000000000000000000000000000000000000000⏟f\underbrace{0}_{s}\underbrace{10000000000}_{e}\underbrace{0010000000000000000000000000000000000000000000000000}_{f}s0e10000000000f0010000000000000000000000000000000000000000000000000
上述步骤反向操作可得到十进制值
上面这个例子中,小数部分不存在舍入的问题(位数小于52位),那么如果小数超出了52位,如何处理呢?有以下几种情况:
1、第53位是0,无需处理
2、第53位是1且53位之后全是0:
- 若第52位是0,无需处理;
- 若第52位是1,那么向上舍入
3、第53位是1,且之后不全是0:那么向上舍入
再看一个例子,计算23.3的双精度浮点数:
23.3转为二进制为
10111.0100110011001100110011001100110011001100110011001100⋯⏟1100循环10111.0100110011001100110011001100110011001100110011001100\underbrace{\cdots}_{1100循环}10111.01001100110011001100110011001100110011001100110011001100循环⋯
改写为
1.0111010011001100110011001100110011001100110011001100⏟52位1100⋯⏟1100循环×241.\underbrace{0111010011001100110011001100110011001100110011001100}_{52位}\underbrace{1100 \cdots}_{1100循环}\times2^41.52位01110100110011001100110011001100110011001100110011001100循环1100⋯×24
数值为正,因此符号位是0;指数e -1023 = 4,e = 1027 = 10000000011,因此指数部分是10000000011;小数位无限循环,53位是1且之后不全是0,符合上述规则3,因此向上舍入,第52位由0变为1,最终小数部分为:
011101001100110011001100110011001100110011001100110101110100110011001100110011001100110011001100110011010111010011001100110011001100110011001100110011001101
整合后得到23.3的双精度浮点数表示:
0⏟s10000000011⏟e0111010011001100110011001100110011001100110011001101⏟f\underbrace{0}_{s}\underbrace{10000000011}_{e}\underbrace{0111010011001100110011001100110011001100110011001101}_{f}s0e10000000011f0111010011001100110011001100110011001100110011001101
非规格化
非规格化可用以下形式表示(小数点前面是0):
(−1)s×0.bbb⋯b⏟f(52位)×2e−1022(e=0)(-1)^s\times0.\underbrace{bbb\cdots b}_{f(52位)}\times2^{e-1022} \quad (e=0)(−1)s×0.f(52位)bbb⋯b×2e−1022(e=0)
当f=0f=0f=0(52位小数全为0)时,表示的值是0:s=0s=0s=0表示-0,s=1s=1s=1表示+0
特殊值
当e=2047e=2047e=2047(11位指数全为1)时:
- 若f>0f>0f>0,表示
NaN
- 若f=0,s=0f=0,s=0f=0,s=0,表示
+Infinity
- 若f=0,s=1f=0,s=1f=0,s=1,表示
-Infinity
数值范围
1、在规格化中,当指数e最大(前10位为1,11位为0,即2046)且小数f最大(52位全为1)时,能表示出最大正值
,为
1.111⋯11⏟52个1×22046−1023=111⋯11⏟53个1000⋯00⏟971个01.\underbrace{111\cdots11}_{52个1}\times2^{2046 - 1023} = \underbrace{111\cdots11}_{53个1}\underbrace{000\cdots00}_{971个0}1.52个1111⋯11×22046−1023=53个1111⋯11971个0000⋯00
转为十进制值为1.7976931348623157e+308
,则能表示的最小负值
为-1.7976931348623157e+308
。
2、在规格化中,当指数e最小(前10位为0,11位为1,即1)且小数f最小(52位全为0)时,能表示出最小正值
,为
1.000⋯00⏟52个0×21−1023=0.000⋯00⏟1021个011.\underbrace{000\cdots00}_{52个0}\times2^{1 - 1023} = 0.\underbrace{000\cdots00}_{1021个0}11.52个0000⋯00×21−1023=0.1021个0000⋯001
转为十进制值为2.2250738585072014e-308
,则能表示的最大负值
为-2.2250738585072014e-308
。
在非规格化中,指数e为0
1、当小数f最大(52位全为1)时,能表示出最大正值
,为
0.111⋯11⏟52个1×2−1022=0.000⋯00⏟1022个0111⋯11⏟52个10.\underbrace{111\cdots11}_{52个1}\times2^{-1022} = 0.\underbrace{000\cdots00}_{1022个0}\underbrace{111\cdots11}_{52个1}0.52个1111⋯11×2−1022=0.1022个0000⋯0052个1111⋯11
转为十进制值为2.225073858507201e-308
,则最小负值
为-2.225073858507201e-308
2、当小数f最小(前51位为0,52位为1)时,能表示出最小正值
,为
0.000⋯01⏟第52位为1×2−1022=0.000⋯00⏟1073个010.\underbrace{000\cdots01}_{第52位为1}\times2^{-1022} = 0.\underbrace{000\cdots00}_{1073个0}10.第52位为1000⋯01×2−1022=0.1073个0000⋯001
转为十进制值为5e-324
,则最大负值
为-5e-324
整数范围(精确整数,无精度丢失)
当 e - 1023 = 52,即e = 1075,小数f最大(52位全为1)时,能表示出最大安全正整数
,为
1.111⋯11⏟52个1×252=111⋯11⏟53个11.\underbrace{111\cdots11}_{52个1}\times2^{52} = \underbrace{111\cdots11}_{53个1}1.52个1111⋯11×252=53个1111⋯11
转为十进制值为253−12^{53}-1253−1 = 9007199254740991
,则能表示的最小安全负整数
为-9007199254740991
总结
1、javascript中的数值统一采用IEEE-754双精度存储,因此在计算时可能出现精度丢失,导致奇怪的结果,如 0.1 + 0.2 !== 0.3
2、下表列出了IEEE-754中的数值边界值,其中某些值对应javascript中的数值常量
- | 最小负值 | 最大负值 | 最小正值 | 最大正值 | 最小安全负整数 | 最大安全正整数 |
---|---|---|---|---|---|---|
规格化 | -1.7976931348623157e+308 | -2.2250738585072014e-308 | 2.2250738585072014e-308 |
1.7976931348623157e+308(Number.MAX_VALUE)
|
-9007199254740991(Number.MIN_SAFE_INTEGER)
|
9007199254740991(Number.MAX_SAFE_INTEGER)
|
非规格化 | -2.225073858507201e-308 | -5e-324 |
5e-324(Number.MIN_VALUE)
|
2.225073858507201e-308 | x | x |
IEEE 754可以表示的数值范围是:
[−1.7976931348623157×10308,−5×10−324]∪[5×10−324,1.7976931348623157×10308][-1.7976931348623157\times10^{308},-5\times10^{-324}] \cup [5\times10^{-324},1.7976931348623157\times10^{308}][−1.7976931348623157×10308,−5×10−324]∪[5×10−324,1.7976931348623157×10308]
超过1.7976931348623157e+308
为Infinity
,小于-1.7976931348623157e+308
为-Infinity
,在(-5e-324,5e-324)
之间的数显示为0
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