关于《最强大脑》周玮的一些想法

《最强大脑》上周玮的表现非常震撼，激起了网络上无数的评论。其中，涉及最多的要数大量关于”怎么快速计算这些看起来吓人的算式“的讨论。

比如：

1. 果壳上就有一篇详细的讨论 ( http://www.guokr.com/article/437913/ )

2. 知乎上的讨论(http://www.zhihu.com/question/22549436/answer/21763991)

3. ...... 还有依靠泰勒展开，对数表等等等等。

我并不打算再讨论，或者说去猜测具体周玮是怎么处理的？或者周玮是不是真的最强大脑？从现在的各种文章看来，我认为，基本都属于像我这样的”普通人“去猜测具有天赋的最强大脑会怎么做(如果他们有跟我们差不多的大脑，只是有一些不产生质变的量变变化)。或者基于我们的公认的一些东西去猜测，其中或多或少隐藏着一些基本的假设(我们认为的常识)，因为我们目前不知道实际上这些最强大脑有些什么不同?

总结目前的种种猜测，我认为我们猜测周玮的算法的过程，其实本质上是寻找一个算法，这个算法最小化存储空间和计算复杂度。

比如：

1. 计算机常用的幂次计算加速 (http://en.wikipedia.org/wiki/Exponentiation_by_squaring )

6^13 = (6^3)^2^2 * 6

2. 迭代速度很快的牛顿迭代 (http://en.wikipedia.org/wiki/Nth_root_algorithm )

3. 利用泰勒展开进行近似计算

4. 记忆对数表

......

怎么综合存储空间(记忆要求)和计算复杂度(时间/计算难度)两个因素？基于某个计算难度定义，怎么找到一个最好的算法？这应该属于算法设计的范畴。

前面，我描述了我的想法，觉得目前的各种猜测都是基于一些假设的，比如已知的计算操作(加减乘除/对数/乘方等)，已知的进制表示(十进制等)。我想可以做一些简单的扩展，也许得到一些更广泛的思路。

首先，让我们看看数字表示的重要性。假如老师布置下列四个计算题：

1. 计算 1440 + 1512

2. 计算 1440 * 1512

3. 计算 (2^5*3^2* 5) + (2^3 * 3^3 * 7)

4. 计算 (2^5*3^2* 5) * (2^3 * 3^3 * 7)

相信对于上面的4个计算式子，大多数人都觉得式子1和4比较容易计算，而式子2和3相对比较困难。但是，其实式子1和3是一样的，而式子2和4是一样的。式子之间的区别在于数字的表示。不难看出，不同的数字表示适合不同的计算操作符。对于乘法来说，因式分解表示很容易，而对于加法来说，传统的十进制表示最好。

那么，是否可能使用不同的数字表示？答案是肯定的。

1. 中文 vs 英文: 先看看网络上曾经讨论的一个话题：国外小学生是否背诵九九乘法表的问题？对于我们国内成长起来的朋友，觉得这似乎是一个不容置疑的问题。我们每个人都是这么走过来的。我并不确定英语为母语的学生是否也有这样的乘法表，但我尝试使用英语背诵，发现还真的挺拗口，至少没有中文那么顺口(中文中个位数字都是单音节的)。

2. 如果说中文和英文只是语言上的区别，那么看看法语。 70 (soixante-dix) 表示为 60 (soixante) + 10 (dix), 而80 (quatre-vingt)表示为 4(quatre) * 20(vingt)

3. 还有一些其他语言，如德语有时高低位之间顺序有些变化等等

上面这些表示，本质上也还是十进制，但已经在影响我们的计算速度和思维方式。是否对于一些有天赋的人来说，数字在他们的大脑中，具有跟我们不一样的表示呢？而那些表示对于我们来说非常复杂的操作却很容易进行？(也可能对于我们来说很容易进行的操作，他们却觉得很麻烦) 想想上面的加法和乘法。

基于上面的这些思考，我们也许可以猜测，在最强大脑/天才们的大脑中，一个计算 z = op(x, y)是如下进行的：

1. 纸面上的算术式子，通过眼睛到达大脑内的数字表示，其实可以看做一个编码的过程。或者从机器学习角度，是一个抽取特征的过程

x' = encode(x); y' = encode(y)

2. 对经过编码的数字进行计算。对编码前数字的计算操作op，等价于转码后表示上的另一个计算操作op'

z' = encode(z) = op' (x' , y')

3. 将大脑中的数字表示，转化为常用的十进制表示，输出写到纸面上。其实是一个解码的过程。

op(x,y) = z = decode(z') = decode( encode(op(x,y)) )

这样的一个框架，并不是异想天开的。比如，对于乘法操作，如果先进行对数转换，那么乘法操作就相当于转化之后”表示“上的加法操作。

op(x, y) = x * y

x' = encode(x) = ln(x), y' = encode(y) = ln(y)

z' = encode (z) = op'(x', y') = x' + y' = ln(x) + ln(y)

op(x, y) = z = decode(z') = e^ z'

当然，我并不是说，最强大脑内部进行的就是这样的转换。但至少，可能最强大脑可以很高效地进行这样的编码和译码操作。也就是说，他们对于纸面上的十进制数字，可以快速地转化为大脑内的一个高效数字表示；而该高效数字表示又很方便进行乘方/开方操作的。最后，将高效数字表示，转化为十进制数字的过程也可以快速完成。节目中有一个细节，相信不少朋友都已经发现：周玮在书写结果的时候是从高位开始的，跟平常多数情况从低位开始得到结果有些不同。(是否大脑内数字表示的译码可以先得到高位呢？)

说了这么多，必须说，也许我是在以一个生活在二维世界(在人类看来是二维世界的三维世界)中的蚂蚁大脑，在企图猜测生存在三维空间的人类的大脑。也许需要等到我们对我们大脑有了更多了解之后才能解开这个谜底。但，至少有几点值得思考：

1. 对某个操作的代价函数定义的情况下，怎么学习/寻找最优的算法/模型呢？这本质上就是我们不断探索的算法设计和最优化，是我们蚂蚁大脑向最强大脑的探索。

2. 数字的表示，对于操作非常重要；一如特征对于机器学习的重要性一样。找到恰当的高效的数字表示，我们能大幅提高计算的效率。找到恰当的高效的特征表示，我们的机器学习模型和系统能大幅提高有效性。

3. 不同的设计，可能导致不同的系统效果。系统/算法设计时的不同目标和权衡，可能导致不同的性能表现。为优化乘法计算而设计的系统，有可能并不擅长于计算加法；为优化加法设计的系统，却有可能对于乘法计算感到头疼。如果人类的大脑是上帝设计，或者进化得到的话，一般人的大脑也许是为了满足上帝开启项目时确定的设计目标，或在进化过程中不断优化了我们常见的计算场景；而所谓最强大脑/天才大脑的大脑结构个例，由于结构上的某些突变，在一些普通人不擅长的领域有了突出的表现，而在另一些普通人擅长的领域且有所欠缺。

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