高等数学（第七版）同济大学习题5-1 个人解答

高等数学（第七版）同济大学习题5-1

函数作图软件：Mathematica

题解中的C语言代码采用的IDE：Visual Studio 2010

1.利用定积分的定义计算由抛物线y=x2+1、两直线x=a、x=b(b>a)及x轴所围成的图形的面积。\begin{aligned}&1. \ 利用定积分的定义计算由抛物线y=x^2+1、两直线x=a、x=b\ (b \gt a)及x轴所围成的图形的面积。&\end{aligned}1. 利用定积分的定义计算由抛物线y=x2+1、两直线x=a、x=b (b>a)及x轴所围成的图形的面积。

解：

因为函数f(x)=x2+1在区间[a,b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a,b]分成n等份，分点为xi=a+i(b−a)n(i=0,1,2,⋅⋅⋅,n)，每个小区间长度为Δxi=b−an，取ξi为小区间的右端点xi，得∑i=1nf(ξi)Δxi=∑i=1n[(a+i(b−a)n)2+1]b−an=b−an∑i=1n(a2+1)+2a(b−a)2n2∑i=1ni+(b−a)3n3∑i=1ni2=(b−a)(a2+1)+a(b−a)2(n+1)n+(b−a)3(n+1)(2n+1)6n2当n→∞时，上式极限为(b−a)(a2+1)+a(b−a)2+13(b−a)3=b3−a33+b−a，即图形面积。\begin{aligned} &\ \ 因为函数f(x)=x^2+1在区间[a, \ b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, \ b]分成n等份，\\\\ &\ \ 分点为x_i=a+\frac{i(b-a)}{n}\ (i=0, 1, 2, \cdot\cdot\cdot,n)，每个小区间长度为\Delta x_i=\frac{b-a}{n}，取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=\sum_{i=1}^{n}\left[\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)^2+1\right]\frac{b-a}{n}=\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}(a^2+1)+2\frac{a(b-a)^2}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{(b-a)^3}{n^3}\sum_{i=1}^{n}i^2=\\\\ &\ \ (b-a)(a^2+1)+a(b-a)^2\frac{(n+1)}{n}+(b-a)^3\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\\\\ &\ \ 当n \rightarrow \infty时，上式极限为\\\\ &\ \ (b-a)(a^2+1)+a(b-a)^2+\frac{1}{3}(b-a)^3=\frac{b^3-a^3}{3}+b-a，即图形面积。 & \end{aligned} 因为函数f(x)=x2+1在区间[a, b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, b]分成n等份，分点为xi=a+ni(b−a) (i=0,1,2,⋅⋅⋅,n)，每个小区间长度为Δxi=nb−a，取ξi为小区间的右端点xi，得 i=1∑nf(ξi)Δxi=i=1∑n[(a+ni(b−a))2+1]nb−a=nb−ai=1∑n(a2+1)+2n2a(b−a)2i=1∑ni+n3(b−a)3i=1∑ni2= (b−a)(a2+1)+a(b−a)2n(n+1)+(b−a)36n2(n+1)(2n+1) 当n→∞时，上式极限为 (b−a)(a2+1)+a(b−a)2+31(b−a)3=3b3−a3+b−a，即图形面积。

2.利用定积分的定义计算下列积分：\begin{aligned}&2. \ 利用定积分的定义计算下列积分：&\end{aligned}2. 利用定积分的定义计算下列积分：

(1)∫abxdx(a<b)；(2)∫01exdx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{a}^{b}xdx\ (a \lt b)；&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{0}^{1}e^xdx. & \end{aligned} (1) ∫abxdx (a<b)； (2) ∫01exdx.

解：

(1)因为函数f(x)=x在区间[a,b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a,b]分成n等份，取ξi为小区间的右端点xi，得∫abxdx=lim⁡n→∞∑i=1n[a+i(b−a)n]b−an=lim⁡n→∞[a(b−a)+(b−a)2n2n(n+1)2]=a(b−a)+(b−a)22=b2−a22(2)因为函数f(x)=ex在区间[0,1]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[0,1]分成n等份，取ξi为小区间的右端点xi，得∫01exdx=lim⁡n→∞∑i=1n1nein=lim⁡n→∞(e1n)n+1−1n(e1n−1)=lim⁡n→∞(en+1n−1)lim⁡n→∞(e1n−1)=e−1\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为函数f(x)=x在区间[a, \ b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, \ b]分成n等份，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{a}^{b}xdx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\left[a+\frac{i(b-a)}{n}\right]\frac{b-a}{n}=\lim_{n \rightarrow \infty}\left[a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}\right]=a(b-a)+\frac{(b-a)^2}{2}=\frac{b^2-a^2}{2}\\\\ &\ \ (2)\ 因为函数f(x)=e^x在区间[0, \ 1]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[0, \ 1]分成n等份，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 取\xi_i为小区间的右端点x_i，得\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{0}^{1}e^xdx=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n}e^{\frac{i}{n}}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{(e^{\frac{1}{n}})^{n+1}-1}{n(e^{\frac{1}{n}}-1)}=\frac{\lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{n+1}{n}}-1)}{\lim_{n \rightarrow \infty}(e^{\frac{1}{n}}-1)}=e-1 & \end{aligned} (1) 因为函数f(x)=x在区间[a, b]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[a, b]分成n等份，取ξi为小区间的右端点xi，得 ∫abxdx=n→∞limi=1∑n[a+ni(b−a)]nb−a=n→∞lim[a(b−a)+n2(b−a)22n(n+1)]=a(b−a)+2(b−a)2=2b2−a2 (2) 因为函数f(x)=ex在区间[0, 1]上连续，所以函数可积。为了便于计算，不妨把区间[0, 1]分成n等份，取ξi为小区间的右端点xi，得 ∫01exdx=n→∞limi=1∑nn1eni=n→∞limn(en1−1)(en1)n+1−1=limn→∞(en1−1)limn→∞(enn+1−1)=e−1

3.利用定积分的几何意义，证明下列等式：\begin{aligned}&3. \ 利用定积分的几何意义，证明下列等式：&\end{aligned}3. 利用定积分的几何意义，证明下列等式：

(1)∫012xdx=1； (2)∫011−x2dx=π4；(3)∫−ππsinxdx=0； (4)∫−π2π2cosxdx=2∫0π2cosxdx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{1}2xdx=1；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx=0；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\ x dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫012xdx=1； (2) ∫011−x2dx=4π； (3) ∫−ππsin xdx=0； (4) ∫−2π2πcos xdx=2∫02πcos xdx.

解：

(1)根据定积分的几何意义，∫012xdx表示由直线y=2x，x=1及x轴围成的图形的面积，图形为直角三角形，底边长为1，高为2，面积为1，即∫012xdx=1.(2)根据定积分的几何意义，∫011−x2dx表示由曲线y=1−x2及x轴和y轴围成的图形面积，为四分之一单位圆形，面积为π4，即∫011−x2dx=π4(3)因为y=sinx在区间[0,π]上为正，在区间[−π,0]上为负，根据定积分的几何意义，∫−ππsinxdx表示曲线y=sinx(x∈[0,π])与x轴所围成的图形减去曲线y=sinx(x∈[−π,0])与x轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为0，即∫−ππsinxdx=0(4)因为y=cosx在区间[−π2,π2]上为正，根据定积分的几何意义，∫−π2π2cosxdx表示曲线y=cosx(x∈[0,π2])与x轴和y轴围成的图形面积加上曲线y=cosx(x∈[−π2,0])与x轴和y轴围成的图形面积，两部分面积相等，即∫−π2π2cosxdx=2∫0π2cosxdx\begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{1}2xdx表示由直线y=2x，x=1及x轴围成的图形的面积，图形为直角三角形，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 底边长为1，高为2，面积为1，即\int_{0}^{1}2xdx=1.\\\\ &\ \ (2)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx表示由曲线y=\sqrt{1-x^2}及x轴和y轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 为四分之一单位圆形，面积为\frac{\pi}{4}，即\int_{0}^{1}\sqrt{1-x^2}dx=\frac{\pi}{4}\\\\ &\ \ (3)\ 因为y=sin\ x在区间[0, \ \pi]上为正，在区间[-\pi, \ 0]上为负，根据定积分的几何意义，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx表示曲线y=sin\ x\ (x \in [0, \ \pi])与x轴所围成的图形\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 减去曲线y=sin\ x\ (x \in [-\pi, \ 0])与x轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为0，即\int_{-\pi}^{\pi}sin\ xdx=0\\\\ &\ \ (4)\ 因为y=cos\ x在区间[-\frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}]上为正，根据定积分的几何意义，\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx表示曲线y=cos\ x\ \left(x \in \left[0, \ \frac{\pi}{2}\right]\right)\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 与x轴和y轴围成的图形面积加上曲线y=cos\ x\ \left(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \ 0 \right]\right)与x轴和y轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 两部分面积相等，即\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}cos\ xdx=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cos\ x dx & \end{aligned} (1) 根据定积分的几何意义，∫012xdx表示由直线y=2x，x=1及x轴围成的图形的面积，图形为直角三角形，底边长为1，高为2，面积为1，即∫012xdx=1. (2) 根据定积分的几何意义，∫011−x2dx表示由曲线y=1−x2及x轴和y轴围成的图形面积，为四分之一单位圆形，面积为4π，即∫011−x2dx=4π (3) 因为y=sin x在区间[0, π]上为正，在区间[−π, 0]上为负，根据定积分的几何意义， ∫−ππsin xdx表示曲线y=sin x (x∈[0, π])与x轴所围成的图形减去曲线y=sin x (x∈[−π, 0])与x轴所围成的图形，由于两部分面积相等，所以为0，即∫−ππsin xdx=0 (4) 因为y=cos x在区间[−2π, 2π]上为正，根据定积分的几何意义，∫−2π2πcos xdx表示曲线y=cos x (x∈[0, 2π]) 与x轴和y轴围成的图形面积加上曲线y=cos x (x∈[−2π, 0])与x轴和y轴围成的图形面积，两部分面积相等，即∫−2π2πcos xdx=2∫02πcos xdx

4.利用定积分的几何意义，求下列积分：\begin{aligned}&4. \ 利用定积分的几何意义，求下列积分：&\end{aligned}4. 利用定积分的几何意义，求下列积分：

(1)∫0txdx(t>0)； (2)∫−24(x2+3)dx；(3)∫−12∣x∣dx； (4)∫−339−x2dx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{t}xdx\ (t \gt 0)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{-1}^{2}\ |x|dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫0txdx (t>0)； (2) ∫−24(2x+3)dx； (3) ∫−12 ∣x∣dx； (4) ∫−339−x2dx.

解：

(1)根据定积分的几何意义，∫0txdx表示由直线y=x，x=t及x轴所围成的直角三角形面积，三角形底长和高都为t，因此面积为12t2，所以，∫0txdx=12t2(2)根据定积分的几何意义，∫−24(x2+3)dx表示由直线y=x2+3，x=−2，x=4及x轴围成的梯形的面积，梯形的两边分别为2和5，高为6，因此面积为21，所以∫−24(x2+3)dx=21(3)根据定积分的几何意义，∫−12∣x∣dx表示由折线y=∣x∣，直线x=−1，x=2及x轴所围成的图形面积，图形是两个直角三角形组成，一个由直线y=−x，x=−1和x轴组成，边长为1，面积为12，另一个由直线y=x，x=2和x轴围成，边长为2，面积为2，两部分面积之和为52，所以，∫−12∣x∣dx=52(4)根据定积分的几何意义，∫−339−x2dx表示由上半圆y=9−x2及x轴围成的半圆面积，所以，∫−339−x2dx=92π.\begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的几何意义，\int_{0}^{t}xdx表示由直线y=x，x=t及x轴所围成的直角三角形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 三角形底长和高都为t，因此面积为\frac{1}{2}t^2，所以，\int_{0}^{t}xdx=\frac{1}{2}t^2\\\\ &\ \ (2)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx表示由直线y=\frac{x}{2}+3，x=-2，x=4及x轴围成的梯形的面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 梯形的两边分别为2和5，高为6，因此面积为21，所以\int_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right)dx=21\\\\ &\ \ (3)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-1}^{2}\ |x|dx表示由折线y=|x|，直线x=-1，x=2及x轴所围成的图形面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 图形是两个直角三角形组成，一个由直线y=-x，x=-1和x轴组成，边长为1，面积为\frac{1}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 另一个由直线y=x，x=2和x轴围成，边长为2，面积为2，两部分面积之和为\frac{5}{2}，所以，\int_{-1}^{2}\ |x|dx=\frac{5}{2}\\\\ &\ \ (4)\ 根据定积分的几何意义，\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx表示由上半圆y=\sqrt{9-x^2}及x轴围成的半圆面积，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，\int_{-3}^{3}\sqrt{9-x^2}dx=\frac{9}{2}\pi. & \end{aligned} (1) 根据定积分的几何意义，∫0txdx表示由直线y=x，x=t及x轴所围成的直角三角形面积，三角形底长和高都为t，因此面积为21t2，所以，∫0txdx=21t2 (2) 根据定积分的几何意义，∫−24(2x+3)dx表示由直线y=2x+3，x=−2，x=4及x轴围成的梯形的面积，梯形的两边分别为2和5，高为6，因此面积为21，所以∫−24(2x+3)dx=21 (3) 根据定积分的几何意义，∫−12 ∣x∣dx表示由折线y=∣x∣，直线x=−1，x=2及x轴所围成的图形面积，图形是两个直角三角形组成，一个由直线y=−x，x=−1和x轴组成，边长为1，面积为21，另一个由直线y=x，x=2和x轴围成，边长为2，面积为2，两部分面积之和为25，所以，∫−12 ∣x∣dx=25 (4) 根据定积分的几何意义，∫−339−x2dx表示由上半圆y=9−x2及x轴围成的半圆面积，所以，∫−339−x2dx=29π.

5.设a<b，问a、b取什么值时，积分∫ab(x−x2)dx取得最大值？\begin{aligned}&5. \ 设a \lt b，问a、b取什么值时，积分\int_{a}^{b}(x-x^2)dx取得最大值？&\end{aligned}5. 设a<b，问a、b取什么值时，积分∫ab(x−x2)dx取得最大值？

解：

根据定积分的几何意义，∫ab(x−x2)dx表示由抛物线y=−x2+x，x=a，x=b及x轴围成的图形面积，能够看出当0<x<1时，y=−x2+x为正，当x<0或x>1时，y=−x2+x为负，因此，当0<x<1时，围成的图形面积最大，因为a<b，所以，a为0，b为1.\begin{aligned} &\ \ 根据定积分的几何意义，\int_{a}^{b}(x-x^2)dx表示由抛物线y=-x^2+x，x=a，x=b及x轴围成的图形面积，\\\\ &\ \ 能够看出当0 \lt x \lt1时，y=-x^2+x为正，当x \lt 0或x \gt 1时，y=-x^2+x为负，\\\\ &\ \ 因此，当0 \lt x \lt1时，围成的图形面积最大，因为a \lt b，所以，a为0，b为1. & \end{aligned} 根据定积分的几何意义，∫ab(x−x2)dx表示由抛物线y=−x2+x，x=a，x=b及x轴围成的图形面积，能够看出当0<x<1时，y=−x2+x为正，当x<0或x>1时，y=−x2+x为负，因此，当0<x<1时，围成的图形面积最大，因为a<b，所以，a为0，b为1.

6.已知ln2=∫0111+xdx，试用抛物线法公式（1−6），求出ln2的近似值（取n=10，计算时取4位小数）。\begin{aligned}&6. \ 已知ln\ 2=\int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx，试用抛物线法公式（1-6），求出ln\ 2的近似值（取n=10，计算时取4位小数）。&\end{aligned}6. 已知ln 2=∫011+x1dx，试用抛物线法公式（1−6），求出ln 2的近似值（取n=10，计算时取4位小数）。

解：

计算yi并列表\begin{aligned} &\ \ 计算y_i并列表 \end{aligned} 计算yi并列表

iii	xix_ixi	yiy_iyi
000	0.00.00.0	1.00001.00001.0000
111	0.10.10.1	0.90910.90910.9091
222	0.20.20.2	0.83330.83330.8333
333	0.30.30.3	0.76920.76920.7692
444	0.40.40.4	0.71430.71430.7143
555	0.50.50.5	0.66670.66670.6667
666	0.60.60.6	0.62500.62500.6250
777	0.70.70.7	0.58820.58820.5882
888	0.80.80.8	0.55560.55560.5556
999	0.90.90.9	0.52630.52630.5263
101010	1.01.01.0	0.50000.50000.5000

根据抛物线法公式，得s=130[(y0+y10)+2(y2+y4+y6+y8)+4(y1+y3+y5+y7+y9)]≈0.6932\begin{aligned} &\ \ 根据抛物线法公式，得\\\\ &\ \ s=\frac{1}{30}[(y_0+y_{10})+2(y_2+y_4+y_6+y_8)+4(y_1+y_3+y_5+y_7+y_9)] \approx 0.6932 & \end{aligned} 根据抛物线法公式，得 s=301[(y0+y10)+2(y2+y4+y6+y8)+4(y1+y3+y5+y7+y9)]≈0.6932

（以下代码中包含了梯形法的算法结果，sum1是梯形法结果，sum2是抛物线法结果）

代码块：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>int main()
{double a, b, n, x, y, y0, yn;double sum1=0.0, sum2=0.0, sumOdd=0.0, sumEven=0.0;printf("Enter a, b, n: ");scanf_s("%lf %lf %lf", &a, &b, &n);double i;for(i=0.0; i<=n; i++){x=i/n;y=1/(1+x);if(i==0)y0=y;else if(i==n)yn=y;else{sum1+=y;if((int)i%2==0)sumEven+=y;if((int)i%2!=0)sumOdd+=y;}printf("%3.0lf %5.1lf %8.4lf\n", i, x, y);}sum1+=(y0+yn)/2;sum1*=(b-a)/n;sum2=(b-a)/(3*n)*(y0+yn+4*sumOdd+2*sumEven);printf("sum1 approx: %2.4lf\nsum2 approx: %2.4lf\n", sum1, sum2);system("pause");return 0;
}

7.设∫−113f(x)dx=18，∫−13f(x)dx=4，∫−13g(x)dx=3。求\begin{aligned}&7. \ 设\int_{-1}^{1}3f(x)dx=18，\int_{-1}^{3}f(x)dx=4，\int_{-1}^{3}g(x)dx=3。求&\end{aligned}7. 设∫−113f(x)dx=18，∫−13f(x)dx=4，∫−13g(x)dx=3。求

(1)∫−11f(x)dx； (2)∫13f(x)dx；(3)∫3−1g(x)dx； (4)∫−1315[4f(x)+3g(x)]dx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{-1}^{1}f(x)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{1}^{3}f(x)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{3}^{-1}\ g(x)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{-1}^{3}\frac{1}{5}[4f(x)+3g(x)]dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫−11f(x)dx； (2) ∫13f(x)dx； (3) ∫3−1 g(x)dx； (4) ∫−1351[4f(x)+3g(x)]dx.

解：

(1)因为∫−113f(x)dx=18，即3∫−11f(x)dx=18，所以，∫−11f(x)dx=6(2)根据(1)结果，∫−11f(x)dx=6，得∫1−1f(x)dx=−6，又根据定积分性质2，得∫13f(x)dx=∫1−1f(x)dx+∫−13f(x)dx=−6+4=−2(3)因为∫−13g(x)dx=3，所以，∫3−1g(x)dx=−3(4)∫−1315[4f(x)+3g(x)]dx=45∫−13f(x)dx+35∫−13g(x)dx=165+95=5\begin{aligned} &\ \ (1)\ 因为\int_{-1}^{1}3f(x)dx=18，即3\int_{-1}^{1}f(x)dx=18，所以，\int_{-1}^{1}f(x)dx=6\\\\ &\ \ (2)\ 根据(1)结果，\int_{-1}^{1}f(x)dx=6，得\int_{1}^{-1}f(x)dx=-6，又根据定积分性质2，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int_{1}^{3}f(x)dx=\int_{1}^{-1}f(x)dx+\int_{-1}^{3}f(x)dx=-6+4=-2\\\\ &\ \ (3)\ 因为\int_{-1}^{3}g(x)dx=3，所以，\int_{3}^{-1}g(x)dx=-3\\\\ &\ \ (4)\ \int_{-1}^{3}\frac{1}{5}[4f(x)+3g(x)]dx=\frac{4}{5}\int_{-1}^{3}f(x)dx+\frac{3}{5}\int_{-1}^{3}g(x)dx=\frac{16}{5}+\frac{9}{5}=5 & \end{aligned} (1) 因为∫−113f(x)dx=18，即3∫−11f(x)dx=18，所以，∫−11f(x)dx=6 (2) 根据(1)结果，∫−11f(x)dx=6，得∫1−1f(x)dx=−6，又根据定积分性质2，得∫13f(x)dx=∫1−1f(x)dx+∫−13f(x)dx=−6+4=−2 (3) 因为∫−13g(x)dx=3，所以，∫3−1g(x)dx=−3 (4) ∫−1351[4f(x)+3g(x)]dx=54∫−13f(x)dx+53∫−13g(x)dx=516+59=5

8.水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p=9.8hkN/m2.若闸门高H=3m，宽L=2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P。\begin{aligned}&8. \ 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，\\\\&\ \ \ \ 且有p=9.8h\ kN/m^2.若闸门高H=3m，宽L=2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P。&\end{aligned}8. 水利工程中要计算拦水闸门所受的水压力。已知闸门上水的压强p与水深h存在函数关系，且有p=9.8h kN/m2.若闸门高H=3m，宽L=2m，求水面与闸门顶相齐时闸门所受的水压力P。

解：

在区间[0,3]上插入n−1个分点，0<h0<h1<⋅⋅⋅<hn=3，取ξi∈[hi−1,hi]，记Δhi=hi−hi−1，得闸门所受水压力的近似值为∑i=1np(ξi)2Δhi，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为P=∫032p(h)dh=19.6∫03hdh，因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间[0,3]进行n等分，取ξi为小区间的端点hi=3in，得∫03hdh=lim⁡n→∞∑i=1n9in2=lim⁡n→∞9(n+1)2n=92，所以，P=19.6∫03hdh=88.2kN\begin{aligned} &\ \ 在区间[0, \ 3]上插入n-1个分点，0 \lt h_0 \lt h_1 \lt \cdot\cdot\cdot \lt h_n=3，取\xi_i \in [h_{i-1}, \ h_i]，记\Delta h_i=h_i-h_{i-1}，得闸门所受\\\\ &\ \ 水压力的近似值为\sum_{i=1}^{n}p(\xi_i)2\Delta h_i，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为P=\int_{0}^{3}2p(h)dh=19.6\int_{0}^{3}hdh，\\\\ &\ \ 因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间[0, \ 3]进行n等分，取\xi_i为小区间的\\\\ &\ \ 端点h_i=\frac{3i}{n}，得\int_{0}^{3}hdh=\lim_{n \rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{9i}{n^2}=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{9(n+1)}{2n}=\frac{9}{2}，所以，P=19.6\int_{0}^{3}hdh=88.2 kN & \end{aligned} 在区间[0, 3]上插入n−1个分点，0<h0<h1<⋅⋅⋅<hn=3，取ξi∈[hi−1, hi]，记Δhi=hi−hi−1，得闸门所受水压力的近似值为i=1∑np(ξi)2Δhi，根据定积分的定义可知，闸门所受水压力为P=∫032p(h)dh=19.6∫03hdh，因为被积函数连续，且连续函数是可积的，因此为了方便计算，对区间[0, 3]进行n等分，取ξi为小区间的端点hi=n3i，得∫03hdh=n→∞limi=1∑nn29i=n→∞lim2n9(n+1)=29，所以，P=19.6∫03hdh=88.2kN

9.证明定积分的性质：\begin{aligned}&9. \ 证明定积分的性质：&\end{aligned}9. 证明定积分的性质：

(1)∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx(k是常数)；(2)∫ab1⋅dx=∫abdx=b−a.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\ (k是常数)；\\\\ &\ \ (2)\ \ \int_{a}^{b}1\cdot dx=\int_{a}^{b}dx=b-a. & \end{aligned} (1) ∫abkf(x)dx=k∫abf(x)dx (k是常数)； (2) ∫ab1⋅dx=∫abdx=b−a.

解：

(1)根据定积分的定义，在区间[a,b]中插入n−1个点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<xn=b，记Δxi=xi−xi−1，任取ξi∈[xi−1,xi]，得∫abkf(x)dx=lim⁡λ→0∑i=1nkf(ξi)Δxi=klim⁡λ→0∑i=1nf(ξi)Δxi=k∫abf(x)dx(2)∫ab1⋅dx=lim⁡λ→0∑i=1nΔxi=lim⁡λ→0(b−a)=b−a\begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据定积分的定义，在区间[a, \ b]中插入n-1个点a=x_0 \lt x_1 \lt x_2 \lt \cdot\cdot\cdot \lt x_n=b，记\Delta x_i=x_i-x_{i-1}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 任取\xi_i \in [x_{i-1}, \ x_i]，得\int_{a}^{b}kf(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}kf(\xi_i)\Delta x_i=k\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i=k\int_{a}^{b}f(x)dx\\\\ &\ \ (2)\ \int_{a}^{b}1\cdot dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}\Delta x_i=\lim_{\lambda \rightarrow 0}(b-a)=b-a & \end{aligned} (1) 根据定积分的定义，在区间[a, b]中插入n−1个点a=x0<x1<x2<⋅⋅⋅<xn=b，记Δxi=xi−xi−1，任取ξi∈[xi−1, xi]，得∫abkf(x)dx=λ→0limi=1∑nkf(ξi)Δxi=kλ→0limi=1∑nf(ξi)Δxi=k∫abf(x)dx (2) ∫ab1⋅dx=λ→0limi=1∑nΔxi=λ→0lim(b−a)=b−a

10.估计下列各积分得值：\begin{aligned}&10. \ 估计下列各积分得值：&\end{aligned}10. 估计下列各积分得值：

(1)∫14(x2+1)dx； (2)∫π454π(1+sin2x)dx；(3)∫133xarctanxdx； (4)∫20ex2−xdx.\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{1}^{4}(x^2+1)dx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx；\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ \int_{2}^{0}e^{x^2-x}dx.\\\\ & \end{aligned} (1) ∫14(x2+1)dx； (2) ∫4π45π(1+sin2 x)dx； (3) ∫313 xarctan xdx； (4) ∫20ex2−xdx.

解：

(1)在区间[1,4]上，2≤x2+1≤17，所以，∫142dx≤∫14(x2+1)dx≤∫1417dx，即6≤∫14(x2+1)dx≤51(2)在区间[π4,54π]上，1≤1+sin2x≤2，所以，∫π454πdx≤∫π454π(1+sin2x)dx≤∫π454π2dx，即π≤∫π454π(1+sin2x)dx≤2π(3)在区间[13,3]上，f(x)=xarctanx是单调增加的，得f(13)≤f(x)≤f(3)，即163π≤xarctanx≤13π，所以，∫133163πdx≤∫133xarctanxdx≤∫13313πdx，即19π≤∫133xarctanxdx≤23π(4)设f(x)=x2−x，x∈[0,2]，则f′(x)=2x−1，f(x)在[0,2]上的最大值为f(2)=2，最小值为f(12)=−14，得∫02e−14dx≤∫02ex2−xdx≤∫02e2dx，即2e−14≤∫02ex2−xdx≤2e2，所以，−2e2≤∫20ex2−xdx≤−2e−14\begin{aligned} &\ \ (1)\ 在区间[1, \ 4]上，2 \le x^2+1 \le 17，所以，\int_{1}^{4}2dx \le \int_{1}^{4}(x^2+1)dx \le \int_{1}^{4}17dx，即6 \le \int_{1}^{4}(x^2+1)dx \le 51\\\\ &\ \ (2)\ 在区间\left[\frac{\pi}{4}, \ \frac{5}{4}\pi\right]上，1 \le 1+sin^2\ x \le 2，所以，\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}dx \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}2dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\pi \le \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{5}{4}\pi}(1+sin^2\ x)dx \le 2\pi\\\\ &\ \ (3)\ 在区间\left[\frac{1}{\sqrt{3}}, \ \sqrt{3}\right]上，f(x)=xarctan\ x是单调增加的，得f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \le f(x) \le f(\sqrt{3})，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{1}{6\sqrt{3}}\pi \le xarctan\ x \le \frac{1}{\sqrt{3}}\pi，所以，\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{6\sqrt{3}}\pi dx \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\frac{1}{\sqrt{3}}\pi dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 即\frac{1}{9}\pi \le \int_{\frac{1}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{3}}\ xarctan\ xdx \le \frac{2}{3}\pi\\\\ &\ \ (4)\ 设f(x)=x^2-x，x \in [0, \ 2]，则f'(x)=2x-1，f(x)在[0, \ 2]上的最大值为f(2)=2，最小值为f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ 得\int_{0}^{2}e^{-\frac{1}{4}}dx \le \int_{0}^{2}e^{x^2-x}dx \le \int_{0}^{2}e^2dx，即2e^{-\frac{1}{4}} \le \int_{0}^{2}e^{x^2-x}dx \le 2e^2，所以，-2e^2 \le \int_{2}^{0}e^{x^2-x}dx \le -2e^{-\frac{1}{4}} & \end{aligned} (1) 在区间[1, 4]上，2≤x2+1≤17，所以，∫142dx≤∫14(x2+1)dx≤∫1417dx，即6≤∫14(x2+1)dx≤51 (2) 在区间[4π, 45π]上，1≤1+sin2 x≤2，所以，∫4π45πdx≤∫4π45π(1+sin2 x)dx≤∫4π45π2dx，即π≤∫4π45π(1+sin2 x)dx≤2π (3) 在区间[31, 3]上，f(x)=xarctan x是单调增加的，得f(31)≤f(x)≤f(3)，即631π≤xarctan x≤31π，所以，∫313631πdx≤∫313 xarctan xdx≤∫31331πdx，即91π≤∫313 xarctan xdx≤32π (4) 设f(x)=x2−x，x∈[0, 2]，则f′(x)=2x−1，f(x)在[0, 2]上的最大值为f(2)=2，最小值为f(21)=−41，得∫02e−41dx≤∫02ex2−xdx≤∫02e2dx，即2e−41≤∫02ex2−xdx≤2e2，所以，−2e2≤∫20ex2−xdx≤−2e−41

11.设f(x)在[0,1]上连续，证明∫01f2(x)dx≥(∫01f(x)dx)2\begin{aligned}&11. \ 设f(x)在[0, \ 1]上连续，证明\int_{0}^{1}f^2(x)dx \ge \left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2&\end{aligned}11. 设f(x)在[0, 1]上连续，证明∫01f2(x)dx≥(∫01f(x)dx)2

解：

记a=∫01f(x)dx，根据定积分性质5，得∫01[f(x)−a]2dx≥0，即∫01[f(x)−a]2dx=∫01f2(x)dx−2a∫01f(x)dx+a2=∫01f2(x)dx−(∫01f(x)dx)2≥0\begin{aligned} &\ \ 记a=\int_{0}^{1}f(x)dx，根据定积分性质5，得\int_{0}^{1}[f(x)-a]^2dx \ge 0，即\int_{0}^{1}[f(x)-a]^2dx=\\\\ &\ \ \int_{0}^{1}f^2(x)dx-2a\int_{0}^{1}f(x)dx+a^2=\int_{0}^{1}f^2(x)dx-\left(\int_{0}^{1}f(x)dx\right)^2 \ge 0 & \end{aligned} 记a=∫01f(x)dx，根据定积分性质5，得∫01[f(x)−a]2dx≥0，即∫01[f(x)−a]2dx= ∫01f2(x)dx−2a∫01f(x)dx+a2=∫01f2(x)dx−(∫01f(x)dx)2≥0

12.设f(x)及g(x)在[a,b]上连续，证明：\begin{aligned}&12. \ 设f(x)及g(x)在[a, \ b]上连续，证明：&\end{aligned}12. 设f(x)及g(x)在[a, b]上连续，证明：

(1)若在[a,b]上，f(x)≥0，且f(x)≢0，则∫abf(x)dx>0；(2)若在[a,b]上，f(x)≥0，且∫abf(x)dx=0，则在[a,b]上f(x)≡0；(3)若在[a,b]上，f(x)≤g(x)，且∫abf(x)dx=∫abg(x)dx，则在[a,b]上f(x)≡g(x).\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \ge 0，且f(x) \not\equiv 0，则\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0；\\\\ &\ \ (2)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \ge 0，且\int_{a}^{b}f(x)dx=0，则在[a, \ b]上f(x) \equiv 0；\\\\ &\ \ (3)\ \ 若在[a, \ b]上，f(x) \le g(x)，且\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx，则在[a, \ b]上f(x) \equiv g(x). & \end{aligned} (1) 若在[a, b]上，f(x)≥0，且f(x)≡0，则∫abf(x)dx>0； (2) 若在[a, b]上，f(x)≥0，且∫abf(x)dx=0，则在[a, b]上f(x)≡0； (3) 若在[a, b]上，f(x)≤g(x)，且∫abf(x)dx=∫abg(x)dx，则在[a, b]上f(x)≡g(x).

解：

(1)根据已知条件，存在x0∈[a,b]，使得f(x0)>0，由f(x)在x0连续可知，存在a≤α≤β≤b，使得当x∈[α,β]时，f(x)≥f(x0)2，因此，∫abf(x)dx=∫aαf(x)dx+∫αβf(x)dx+∫βbf(x)dx，由定积分性质得，∫aαf(x)dx≥0，∫αβf(x)dx≥∫αβf(x0)2dx=β−α2f(x0)>0，∫βbf(x)dx≥0，所以，∫abf(x)dx>0(2)如果f(x)≢0，根据（1）结果得∫abf(x)dx>0，与已知条件矛盾，所以，f(x)≡0(3)令h(x)=g(x)−f(x)≥0，且∫abh(x)dx=∫abg(x)dx−∫abf(x)dx=0，根据（2）结果可得在[a,b]上，h(x)≡0，则f(x)≡g(x)\begin{aligned} &\ \ (1)\ 根据已知条件，存在x_0 \in [a, \ b]，使得f(x_0) \gt 0，由f(x)在x_0连续可知，存在a \le \alpha \le \beta \le b，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 使得当x \in [\alpha, \ \beta]时，f(x) \ge \frac{f(x_0)}{2}，因此，\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{\alpha}f(x)dx+\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx+\int_{\beta}^{b}f(x)dx，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 由定积分性质得，\int_{a}^{\alpha}f(x)dx \ge 0，\int_{\alpha}^{\beta}f(x)dx \ge \int_{\alpha}^{\beta}\frac{f(x_0)}{2}dx=\frac{\beta-\alpha}{2}f(x_0) \gt 0，\int_{\beta}^{b}f(x)dx \ge 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以，\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0\\\\ &\ \ (2)\ 如果f(x) \not\equiv 0，根据（1）结果得\int_{a}^{b}f(x)dx \gt 0，与已知条件矛盾，所以，f(x) \equiv 0\\\\ &\ \ (3)\ 令h(x)=g(x)-f(x) \ge 0，且\int_{a}^{b}h(x)dx=\int_{a}^{b}g(x)dx-\int_{a}^{b}f(x)dx=0，根据（2）结果可得在[a, \ b]上，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ h(x) \equiv 0，则f(x) \equiv g(x) & \end{aligned} (1) 根据已知条件，存在x0∈[a, b]，使得f(x0)>0，由f(x)在x0连续可知，存在a≤α≤β≤b，使得当x∈[α, β]时，f(x)≥2f(x0)，因此，∫abf(x)dx=∫aαf(x)dx+∫αβf(x)dx+∫βbf(x)dx，由定积分性质得，∫aαf(x)dx≥0，∫αβf(x)dx≥∫αβ2f(x0)dx=2β−αf(x0)>0，∫βbf(x)dx≥0，所以，∫abf(x)dx>0 (2) 如果f(x)≡0，根据（1）结果得∫abf(x)dx>0，与已知条件矛盾，所以，f(x)≡0 (3) 令h(x)=g(x)−f(x)≥0，且∫abh(x)dx=∫abg(x)dx−∫abf(x)dx=0，根据（2）结果可得在[a, b]上， h(x)≡0，则f(x)≡g(x)

13.根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大：\begin{aligned}&13. \ 根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大：&\end{aligned}13. 根据定积分的性质及第12题的结论，说明下列各对积分中哪一个的值较大：

(1)∫01x2dx还是∫01x3dx？(2)∫12x2dx还是∫12x3dx？(3)∫12lnxdx还是∫12(lnx)2dx？(4)∫01xdx还是∫01ln(1+x)dx？(5)∫01exdx还是∫01(1+x)dx？\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \int_{0}^{1}x^2dx还是\int_{0}^{1}x^3dx？\\\\ &\ \ (2)\ \ \int_{1}^{2}x^2dx还是\int_{1}^{2}x^3dx？\\\\ &\ \ (3)\ \ \int_{1}^{2}ln\ xdx还是\int_{1}^{2}(ln\ x)^2dx？\\\\ &\ \ (4)\ \ \int_{0}^{1}xdx还是\int_{0}^{1}ln(1+x)dx？\\\\ &\ \ (5)\ \ \int_{0}^{1}e^xdx还是\int_{0}^{1}(1+x)dx？ & \end{aligned} (1) ∫01x2dx还是∫01x3dx？ (2) ∫12x2dx还是∫12x3dx？ (3) ∫12ln xdx还是∫12(ln x)2dx？ (4) ∫01xdx还是∫01ln(1+x)dx？ (5) ∫01exdx还是∫01(1+x)dx？

解：

(1)在区间[0,1]上，x2≥x3，因此，∫01x2dx较大。(2)在区间[1,2]上，x2≤x3，因此，∫12x3dx较大。(3)在区间[1,2]上，因为0≤lnx≤1，得lnx≥(lnx)2，因此，∫12lnxdx较大。(4)当x>0时，ln(1+x)<x，因此，∫01xdx较大。(5)当x>0时，ln(1+x)<x，则1+x<ex，因此，∫01exdx较大。\begin{aligned} &\ \ (1)\ 在区间[0, \ 1]上，x^2 \ge x^3，因此，\int_{0}^{1}x^2dx较大。\\\\ &\ \ (2)\ 在区间[1, \ 2]上，x^2 \le x^3，因此，\int_{1}^{2}x^3dx较大。\\\\ &\ \ (3)\ 在区间[1, \ 2]上，因为0 \le ln\ x \le 1，得ln\ x \ge (ln\ x)^2，因此，\int_{1}^{2}ln\ xdx较大。\\\\ &\ \ (4)\ 当x \gt 0时，ln(1+x) \lt x，因此，\int_{0}^{1}xdx较大。\\\\ &\ \ (5)\ 当x \gt 0时，ln(1+x) \lt x，则1+x \lt e^x，因此，\int_{0}^{1}e^xdx较大。 & \end{aligned} (1) 在区间[0, 1]上，x2≥x3，因此，∫01x2dx较大。 (2) 在区间[1, 2]上，x2≤x3，因此，∫12x3dx较大。 (3) 在区间[1, 2]上，因为0≤ln x≤1，得ln x≥(ln x)2，因此，∫12ln xdx较大。 (4) 当x>0时，ln(1+x)<x，因此，∫01xdx较大。 (5) 当x>0时，ln(1+x)<x，则1+x<ex，因此，∫01exdx较大。