数据结构-满k叉树例题

今天写数据结构题，有一个比较深刻的，记录在这里，方便日后查看翻阅。

题目：
一个深度为h的满k叉树有如下性质：第h层上的结点都是叶子结点，其余各层上每个结点都有k棵非空子树。如果按层次顺序(同层自左至右)从1开始对全部结点编号，问：
(1)各层的结点数目是多少?
(2)编号为i的结点的双亲结点(若存在)的编号是多少?
(3)编号为i的结点的第j个孩子结点(若存在)的编号是多少?
(4)编号为i的结点的有右兄弟的条件是什么? 其右兄弟的编号是多少?
答：

(1)各层的结点数目是多少?

第一层：11 1
第二层：kk k
第三层：k∗kk*k k∗k
第四层：k∗k∗kk*k*k k∗k∗k
第n层： kn−1k^{ n-1} kn−1

(2)编号为i的结点的双亲结点(若存在)的编号是多少?

我先画了一个满三叉树图，方便思考（并不是这道题就是三叉树，题目给的是满k叉树，我只是为了方便才选择三叉树的）

假设i的位置如上，j是i的第一个子节点。
i 的前面有（i-1）个节点，每一个节点有k 个子节点，
所以j 前面有（（i-1）*k）+1 个节点，为什么要加1呢，
因为（i-1）*k 没有包括根节点，
所以j 前面的节点再加一，（（i-1）*k）+2 就是j 节点的编号。

（（i−1）∗k）+2（（i-1）*k）+2 （（i−1）∗k）+2

衍生问题，如果问的是i的第k个孩子的编号怎么办？
第一个孩子（i−1）∗k）+2（i-1）*k）+2 （i−1）∗k）+2
那么第k个孩子（i−1）∗k）+2+k−1（i-1）*k）+2 + k -1（i−1）∗k）+2+k−1

(3)编号为i的结点的第j个孩子结点(若存在)的编号是多少?

再画一个图，把i和j的位置换一下

这次就是求i 的父节点j 的编号，我只会使用数学的推算方法，联想不出来这个题。
因为i是j子节点，所以可以用j 来求i 的编号，
i=((j−1)∗k)+2i=((j-1)*k)+2 i=((j−1)∗k)+2
i−2=(j−1)∗ki-2=(j-1)*k i−2=(j−1)∗k
(i−2)/k=j−1(i-2)/k=j-1 (i−2)/k=j−1
j=((i−2)/k)+1j=((i-2)/k)+1 j=((i−2)/k)+1

第三题就是通过第二题得到的结果，逆向推理得到的结果，这是目前我会的唯一方法。

(4)编号为i的结点的有右兄弟的条件是什么? 其右兄弟的编号是多少?

图中红色的就是没有右兄弟，除了红色的节点，其他的节点都有右兄弟
通过图片可以发现，只要i 不是每个节点的最右节点，
换个说法，只要i 不是双亲的第k个孩子就有右兄弟
对于任意的节点p ，其k 个子节点的编号是p*k+1
则有：
i!=p∗k+1i!= p*k+1 i!=p∗k+1
i−1!=p∗ki-1 != p*k i−1!=p∗k
最后结果可以写成：
(i−1)%k!=0(i-1)\% k !=0 (i−1)%k!=0
其实就是保证当前节点减一不是k的倍数，就可以保证该节点是有右兄弟的。

这道题我也是在网上看解析看了好久看懂的，但是网上的没有系统的讲解这个问题的，索性我自己总结下来，方便日后自己复习，或者帮助其他人学习这个问题。
希望对你有帮助。