计算共形几何课程总结

每年暑期，笔者或者在清华大学丘成桐数学中心，或者在线上开设公开课程：计算共形几何。截至2022年，这一传统已经延续十余年，一直得到丘成桐先生的大力支持。在讲课过程中，笔者结交了很多数学界和工程界的朋友，共同探索取得了很多首创学术成果，一直推动发展着这个领域。例如，现代几何的核心概念是“黎曼度量”，目前唯一能够计算黎曼度量的算法就是Ricci流方法。在过去十年间，我们系统地发展了离散曲面Ricci流的理论和算法，在世界上首次证明了解的存在性和唯一性，得到了离散单值化定理；扎哈·哈迪德设计的大兴国际机场使得广大群众直观感受到了曲面叶状结构的概念。为了满足几何建模、建筑设计的需求，我们首次提出了基于全纯二次微分的叶状结构算法；近期以来，依随工业软件的发展，业界对于结构化网格生成的需求日益迫切。我们首次发现了结构化网格与黎曼面上的亚纯微分之间的本质联系，基于阿贝尔-雅克比定理提出了结构化网格理论，从而有望将依赖于人类灵性的手工经验性方法用科学严密的自动算法取代；再如，丘先生在1992年提出了100个微分几何开放问题，其中第19问题是有关如何通过高斯曲率重建曲面的Minkowski问题。我们首次基于几何变分方法给出了求解算法，这等价于球面最优传输问题，在几何领域和可解释AI领域得到深入的应用。

2022年的科技热点在于元宇宙、自动驾驶、工业软件、可解释人工智能等领域，共形几何的理论和算法有助于直接解决这些领域的一些基本问题。

工业应用

在现实生活中，所有物理实体的表面都是黎曼曲面，因此在工程、医疗所有涉及三维形状的领域，共形几何无所不在。这里我们仅仅简介共形几何方法在工业领域中的直接应用。

图形渲染：高效逼真的图形渲染强烈依赖于纹理贴图和法向贴图技术，而这些技术归结为曲面参数化方法（图 1.）。共形几何的单值化定理可以将具有复杂拓扑和几何的曲面映射到平面区域，并且这种映射局部保形，没有引入几何畸变。

Fig 1. 曲面参数化、纹理贴图。

近期虚幻引擎5的Nanite虚拟几何技术将渲染效率提高了几个数量级，使得元宇宙中超大场景的实时渲染成为可能。而虚拟几何技术的核心是将不规则的三角网格转换成规则的几何图像（图 2.），而这种转换依赖于曲面全局参数化。迄今为止，计算共形几何是唯一的可行方法。

Fig 2. 虚拟几何技术，几何图像。

几何建模：传统的机械几何建模是将简单的基本形状进行布尔运算得到复杂几何实体。比较现代的方法是直接扫描三维实体得到稠密点云（图 3.），然后用SLAM技术将点云融合，再用数字几何技术重建三维曲面（图 4.）。

Fig 3. 扫描得到的点云。

Fig 4. 曲面融合后的重建曲面。

Fig 5. 三角网格剖分。

初始重建的曲面往往具有大量的拓扑和几何噪音，需要用计算拓扑的方法去除拓扑噪音，用计算几何的方法去除几何噪音，再用共形几何方法进行三角剖分，得到高质量三角网格（图5.）。高质量的网格可以用于后端的CAE数值模拟仿真，也可以应用于CAM，直接三维打印出来（图 6.）。

Fig 6. 左侧，原始雕塑；右侧，3D打印的重新建模曲面。

传统几何建模领域中，最终曲面都被表示成高阶光滑的样条曲面，例如B-Spline，NURBS 和 T-样条曲面。通过共形几何的方法，我们可以将三角网格曲面转换成样条曲面（图7.）。

Fig 7. 三角网格转换为样条曲面。

几何约束求解：在工程实践中，我们往往需要求解带有几何约束的问题。计算共形几何给出系统性的方法来解决这类问题。例如扎哈设计的大兴国际机场的建筑大量采用曲面的叶状结构概念（图8.），而曲面的叶状结构等价于黎曼面上的全纯二次微分，归结为在曲面上特定的上同调类中求非线性椭圆型偏微分方程。计算共形几何给出精确的算法（图 9.）, 可以计算复杂曲面上所有的叶状结构。

Fig 8. 大兴国际机场建筑设计。

Fig 9. 曲面上的叶状结构。

再如，近些年来，拓扑优化技术发展迅猛。传统的拓扑优化设计都是在欧氏空间中施行，应用共形几何，我们可以将欧氏空间的方法直接推广到曲面上，在曲面上求解偏微分方程。例如，我们可以设计具有负泊松比的超材料，用于防弹面罩设计（图10.）。

Fig 10. 防弹面罩设计，曲面上的拓扑优化设计。

网格剖分：在CAE数值模拟仿真中，网格生成部分经常占据70%以上的时间和成本，因此网格生成具有根本的重要性。传统的基于Delaunay Refinment的平面三角剖分算法非常成熟。通过共形映射，我们将曲面映到平面，同时这个映射保角，因此可以将平面高质量的三角剖分拉回到曲面上，生成曲面的高质量三角网格（图 11.）。

Fig 11. 基于共形映射的曲面三角网格生成。

曲面的结构化网格生成更加困难，其中关键在于网格奇异点构型的选取。长期以来，曲面四边形网格生成都是依赖于有经验的工程师手工调整。我们发现四边形网格等价于黎曼面上的亚纯四次微分，其奇异点等价于主除子，从而满足Abel方程（图12.）。因此，计算共形几何方法为结构化网格生成奠定了理论基础，给出了高效算法。

Fig 12. 曲面结构化四边形网格理论：奇异点被Abel-Jacobi定理控制。

这种算法可以为具有复杂拓扑和几何的曲面生成结构化网格，从而直接转换成样条表示（图 13.）

Fig 13. 菩萨曲面被扫描，转换为三角网格，四边形网格，T-样条曲面。

CAE高性能数值计算：计算共形几何提供了完备的理论和算法在曲面上高效、高精度求解线性、非线性偏微分方程，得到各种函数和张量。这些方程的求解方法可以直接应用于工程领域。

Fig 14. 曲面单值化定理，求解常高斯曲率黎曼度量。

计算共形几何提供了曲面Ricci流算法，可以通过高斯曲率来反解黎曼度量，这是目前唯一的方法能够构造黎曼度量。如图14所示，所有的曲面都存在一个与初始度量共形等价的度量，并且诱导常值曲率，常数为+1,0，或者-1取决于曲面拓扑。通过单值化，我们可以将任何曲面上的偏微分方程转化为平面区域的偏微分方程。例如，曲面上的椭圆型偏微分方程例如热力学、弹性力学中的Lapalce方程，Poisson方程，都在共形变换下不变，从而转化成平面区域的类似方程，应用成熟的平面PDE方法求解，提高了计算效率。

Fig 15. 曲面上的全纯微分，用于六面体网格生成。

计算共形几何提供了计算曲面Abel微分的算法（图15.），类似思想和方法可以直接用于CAE中的保结构算法，例如保辛算法，电磁场求解，保面元映射（图16.）等。这些算法都需要计算过程保持某种特定的几何、拓扑结构，从而提高计算准确性。

Fig 16. 曲面保结构映射：左侧，保角映射，Lapalce方程不变；右侧，保辛变换，保持面积元不变。

传统CAE计算主要是基于有限元方法，将曲面和实体进行三角剖分，将微分方程转化成代数方程组求解。近期等几何分析方法（Isogeometric Anylasis）日益普遍，这种方法将曲面和实体用样条表示，待求的函数也用样条表示，这样可以直接求高阶微分，用待定系数方法（colocation）求解偏微分方程。这种方法可以得到更高的精度。IGA方法需要将复杂曲面转换成样条曲面，复杂几何体转成体样条，这需要用到结构化四边形网格剖分和Abel-Jacobi定理（图15. 和图17.）。

Fig.17 三角网格转换成T-样条曲面。

我们用计算共形几何的方法重新构建了1996 Dodge Neon的汽车NURBS模型（图18.），然后用等几何分析（IGA）方法计算汽车前底板的共振频率和振幅分布函数（图19）。

Fig. 18 由Ricci流方法计算的NURBS模型，NCAC 1996 Dodge Neon汽车。

Fig. 19 用IGA方法计算1996 Dodge Neon汽车前底板的共振频率和简正模（振幅分布函数）。

几何建模中需要用到由Gauss曲率得到曲面形状，这需要求解Minkowski问题（图20.）。光学设计中，我们需要设计特殊的反射镜和透射镜，将点光源发出的光线反射或者折射成特殊的光强分布，例如在远场打出一幅画（图21.），这些问题最终归结为求解球面的蒙日-安培方程，传统的有限元方法无法求解。通过几何变分方法，我们可以精确求解。

Fig. 19 Minkowski问题：由Gauss曲率决定凸曲面形状。

Fig. 21 反射镜曲面设计问题：设计反射镜将点光源反射成给定的图像。

几何（图）数据库：Klein的Erlangen纲领指出，不同的几何研究不同变换群下的不变量。我们可以将这些不变量作为曲面的“指纹”，将几何曲面分类，实现几何数据库的索引和几何搜素引擎。计算共形几何算法提供了所有的几何拓扑不变量，例如拓扑中的亏格、同伦同调群、曲面自旋结构；共形几何中的周期矩阵，Fuchsian群；黎曼几何中的黎曼度量（共形因子），Laplace的谱，热核；微分几何中的主曲率、平均曲率。用这些不变量，我们可以将曲面由粗到精，逐步分类。

同时，计算共形几何提供了计算曲面之间各种映射的方法，比如极小化几何畸变的Teichmuller映射方法，从而可以建立曲面间精确的对应关系，进行精细的比较，从而计算曲面间的距离（图 22.）。

Fig. 22 曲面间的Teichmuller映射，将特征点映到特征点，几何畸变最小，男子脸上的每个小圆映射到女子脸上相应的小椭圆，所有的椭圆偏心率相同。

我们也可以将非结构化的几何实体用点云来表示，从而将点云视为空间中的概率分布（Dirac分布之和）。这时，我们可以求解两个概率分布之间的最优传输映射，最优传输映射的总传输代价被称为是两个概率分布之间的Wasserstein距离。求解最优传输映射等价于求解蒙日-安培方程（图23.）。

Fig. 23 概率分布之间的Wasserstein距离等于最优传输映射的总传输代价。

对于抽象的图（Graph）而言，我们可以定义图的Laplace的谱和热核，也可以定义图上Ricci曲率和Ricci流，从而用几何方法进行分类和比较。同时，我们也可以将图嵌入在曲面之上，同时用共形几何方法对曲面进行单值化，映到平面区域上进行比较。

数据转换：几何数据的常见数据表示包括点云，图，非结构化网格和样条。通过如上的讨论，我们看到共形几何可以将这些表示进行转换。

数据模型驱动：共形几何方法可以和深度学习方法结合，用于几何生成模型。首先，通过全局参数化，我们将曲面转换成几何图像，从而可以直接应用各种卷积网络。同时，我们也可以用几何方法来解释深度学习方法，指导新型学习模型的设计。例如，我们知道深度学习的主要任务是学习流形上的概率分布，其中概率分布的学习算法是基于最优传输理论。由蒙日安培方程的正则性理论，传输映射不一定连续，经常存在奇异集合（图24.），而深度神经网络只能学习连续映射，这一本质矛盾造成了模式坍塌（mode collapse）。由此，我们基于最优传输映射的几何变分法，设计了AE-OT模型，可以避免模式坍塌（图25.）。

Fig. 24 Figalli （2018 菲尔兹奖得主）提出的最优传输映射奇异性理论：如果目标概率分布的支集非凸，则可能存在奇异集合（黑色graph），映射在奇异点处非连续。

Fig. 25 AE-OT模型：可以避免模式坍塌。此模型生成的人脸图片。

基本算法

2022年的暑期课程讲解了大量的基本理论，这些定理的证明主要是基于构造性的方法，从而可以直接地转化为计算方法。

设计思路 ：我们的计算方法主要用丘成桐先生创立的几何分析方法，就是将几何问题用黎曼流形上的偏微分方程来表示，在流形上求解偏微分方程。虽然很多几何存在（Geometric Being）可以用代数几何方法来描述并且用计算代数方法来求解，但是分析方法更加贴近工程实际。

底层架构 ：

组合数据结构 底层的基本数据结构是单纯复形，即流形的三角剖分，例如曲面的三角网格、实体的四面体网格，和更加宽泛的CW-复形。数据结构主要用低维的半边结构（Half-edge Data Structure）和高维的飞镖结构（Dart Data Structure）。与传统有限元方法不同之处在于这里的组合结构是动态的，例如计算Ricci流的过程中，依随黎曼度量的变化，三角剖分动态变化以保持Delaunay特性。

数值优化 几何偏微分方程转化为代数方程，特别是大型稀疏正定线性方程组，可以用经典的数值方法求解，例如共轭梯度法，也可以用多重网格法来加速，预条件子方法提高数值稳定性等。

离散优化 有一些基本算法是基于离散优化的，例如三维扫描中的相位反解算法，立体视觉问题的底层算法等等。离散优化可以用马尔科夫随机场方法（Markov Random Field），例如可以归结为图论中的最大流、最小割算法（Graph Cut）。

自适应精度算术 最优传输理论需要用到计算几何的算法。经典计算几何中的很多算法要求非常高的精度，常用的双精度表示远远无法满足需求，例如凸包算法，Delaunay三角剖分，扫描线算法等等。在这些算法中，算术上的微小误差会带来组合结构的巨大变化，构建过程中的一步失误会带来满盘皆损的局面。因此，我们需要自适应精度的算术函数（adaptive arithmetic）来保证计算的正确性和鲁棒性。

计算拓扑：我们详尽讲解了计算拓扑的各种算法，几乎涵盖了曲面拓扑的常见算法。

代数拓扑 曲面的基本群，包括生成元和关系，曲面的CW-分解，基本域，万有复迭空间，曲面的甲板映射群，道路提升，同伦检测，同伦群中最短词生成；基于单纯复形的单纯下同调群，单纯上同调群，对偶基底，同调检测，单纯映射，映射度，同调群间的同态，Lefschetz数的计算，Sperner染色算法计算Brower 不动点，曲面自映射类群。持续同调算法，handle loop，tunnel loop算法，拓扑去噪算法等。

微分拓扑 曲面的切矢量场设计，矢量场零点指标，曲面de Rham上同调群，曲面的单位切丛，曲面的自旋结构，曲线光滑同伦判定，曲面在三维欧氏空间中浸入的光滑同伦分类等。

几何拓扑 单值化度量下同伦群中最短词算法，曲线同伦判定算法等。

黎曼几何 离散测地线算法，离散高斯曲率，

离散曲面Ricci流 包括欧氏和双曲背景几何下的Thurston 圆盘填充算法，相切圆盘填充算法，逆向距离圆盘填充算法，虚拟半径圆盘填充算法，Yamabe流算法，统一Ricci流算法，动态Yamabe流算法。

离散调和映照 拓扑圆盘的调和映照算法，基于非线性热流的球面调和映照方法，基于双曲度量的高亏格曲面调和映照算法，曲面的图值调和映照算法。

微分几何 曲面的高斯映射，Weingarten映射，主曲率方向，主曲率，基于球面最优传输的Minkowski问题解法（即由Gauss曲率重建曲面）

Fig. 23 曲面的共形映射。

共形几何 微分形式的Hodge 分解算法，调和微分形式群，共轭调和微分算法，全纯微分形式群，周期矩阵，Abel-Jacobi映射，基于Abel定理的主除子判定，Abel微分构造算法，满足平庸和乐条件的黎曼度量构造算法，曲面四边形网格生成算法，共形映射、共形不变量算法（图23.）：

拓扑圆盘 黎曼映照，基于全纯微分算法，基于Ricci流算法，Zipper算法；

拓扑环带基于全纯微分算法，基于Ricci流算法；

多孔环带 基于全纯微分算法的狭缝映射，基于Ricci流算法的狭缝映射；

多孔环带 基于全纯微分的Koebe迭代算法；基于Ricci流的Koebe迭代算法；

拓扑轮胎 基于全纯微分的单值化算法; 基于Ricci流的单值化算法；

高亏格曲面 基于离散曲面双曲Ricci流的单值化算法，Fuchsian群；

拟共形映射 基于全纯微分的算法；基于Ricci流的算法；

Teichmuller 映射基于全纯微分的算法；基于Ricci流的算法；

Fig. 24 基于FFT 的最优传输算法。

最优传输、凸几何

凸包算法，上包络算法，扫描线算法，Power Diagram-Weighted Delaunay算法，低维和高维欧式空间上的基于几何变分原理的最优传输映射，Wasserstein距离计算，基于快速傅里叶变换的算法，奇异集合存在性判定算法；球面最优传输映射包括Minkowski问题解法，反射镜设计问题，折射镜设计问题等。

基本理论

共形几何即黎曼面理论是现代几何的入口，一方面共形几何研究的对象就是日常生活中随处可见的物理曲面，非常直观，容易理解；同时共形几何的基本理论只需要比较初等的数学知识就可以理解，例如线性代数、多元微积分和复变函数，不需要太多的知识储备；另一方面，黎曼面理论非常抽象和深刻，是微分几何、复流形理论、代数几何和代数数论的交集，其基本的理论框架可以直接推广至高维情形。因此，共形几何具有巨大的理论价值和实用价值。如果同学们用心学习，肯定能够体会到共形几何在现实工程中的威力，同时更能够体会到思想精神上无可比拟的美学价值。

众所周知，黎曼面理论有三个主要的看法，1）复流形的观点：黎曼面是一维的Kaler流形，主要的研究手法是分析、拓扑和微分几何。我们的课程主要是用这个观点。核心概念是黎曼度量、Gauss曲率、亚纯函数的留数公式、切丛、全纯线丛的示性类和椭圆型微分算子等。联系拓扑和黎曼几何的定理包括Gauss-Bonnet-Chern定理，即总曲率等于拓扑不变量；Hodge定理，即黎曼流形上椭圆型微分算子解空间的维数由流形的拓扑所决定，例如每一个de Rham上同调类中存在唯一的调和微分形式；单值化定理，即一个黎曼面上的所有黎曼度量中存在一个常曲率度量。单值化度量可以用曲面Ricci流计算出来。

从复分析角度来看，黎曼面上的主要研究对象是亚纯函数和亚纯微分。由Hodge理论得知全纯微分构成的群与一维de Rham上同调群同构。全纯微分群的一组基底在黎曼面上积分得到Abel-Jacobi映射，将黎曼面全纯嵌入到高维复空间中，复空间的维数等于黎曼面的亏格。复空间模掉黎曼面的周期矩阵得到Jacobi簇。亚纯函数由其零极点的分布来刻画。亚纯函数的零极点构成所谓的主除子，Abel定理断言主除子的充要条件是其Abel-Jacobi映射的像是Jacobi簇中的零点。黎曼面上的除子在加法下成群，模掉主除子群得到除子类群。Jacobi定理断言，零度除子类群在Abel-Jacobi映射下与Jacobi簇同构。给定一个除子，所有极点阶数被其限定的亚纯函数构成一个线性空间，所有零点阶数被除子限定的亚纯微分也构成一个线性空间，Riemann-Roch定理给出这两个空间维数之间的确定关系。

从现代观点来看，亚纯微分是全纯线丛的全局截面。任意除子都可诱导一个全纯线丛，而线丛的示性类就是这个除子。若两个除子相差一个主除子，则它们诱导的线丛同构。两个线丛的整体扭曲可以叠加，从而得到线丛的乘法。所有的线丛同构类成群，被称为是全纯线丛类群。除子类群与线丛类群同构。

关键的思想如下：局部上看，亚纯函数、亚纯微分可以非常容易构造出来，但是当它们被向全局推广的时候，往往会遇到障碍。精确描述这种局部构造的全局障碍的语言就是层的上同调。全纯线丛局部截面的全体构成了黎曼面上的层，局部截面整体拼接时遇到的障碍是这个层的上同调群。若此群为零，则局部构造可以全局推广，反之则需要仔细甄别。此时，全纯线丛截面层的上同调群与所谓的Dolbeault上同调群同构，而后者则是复化的de Rham上同调群。由Voronoi-Delaunay的组合结构关系，de Rham同调群存在Poincare对偶，类似的Dolbeault的上同调群存在Serre对偶；更进一步Hodge理论适用于de Rham群，也适用于Dolbeault群。由此全纯线丛截面层的同调群可以计算，Riemann-Roch可以被看成是一个指标定理。更进一步，由除子诱导的全纯线丛上可以构造Hermite度量，从而得到曲率，总曲率满足Gauss-Bonnet定理，即等于除子（示性类）的度，总曲率决定了线丛截面层的上同调群是否平庸，从而决定了截面的整体存在性，即消没定理。这可以类比于正曲率曲面（球面）上的全纯微分为零。

由于这门课时间过短，很多同学是工程背景，所以笔者没有讲现代观点，而是用古典初等方法证明了Abel定理和Riemann-Roch定理。对于抽象的概念，例如层的上同调，真正的领悟需要很长时间，希望未来会有更加合适的讲授方法。

2）代数数论的观点：黎曼面上的所有亚纯函数构成一个域，即亚纯函数对于加法成群，非零亚纯函数关于乘法成群。几何上如果两个曲面存在共形双射，代数上两个亚纯函数域同构（这个同构限制在复数域上是恒同映射），由此复流形观点和代数数论观点等价。那么如何由此抽象域得到黎曼面上的任意一点？结论是每个点是亚纯函数域的一个赋值，即固定一点，取遍所有的亚纯函数，看哪些函数以此点为零点或者极点（考虑零极点的阶数）。换句话说，黎曼面上的任意两点，都存在一个亚纯函数将它们区分。这种代数观点令人耳目一新。

关键的思想如下：给定黎曼面，上面的亚纯函数域记为。取定一个亚纯函数，具有个极点，把它抽象为一个字符，把它添加到复数域中，构成关于变量的有理多项式域，这被称为是复数域的一次超越扩张。这时我们再任取一个亚纯函数，则必然存在的一个多项式，使得的次数不大于，并且以为根，. 这意味着关于是代数的，并且。由本原元素定理，必然存在一个亚纯函数，使得. 假设在上的极小多项式为，那么黎曼面就是的零点集合。即我们将黎曼面表示成了代数曲线。这里我们将一个层次的几何存在，即黎曼面上的一个亚纯函数，抽象成更高层次上的一个原子，一个符号，并且在更抽象层次上通过代数原理得到更为深刻的整体结论。恰如人类用抽象名词来指代复杂的具体事务，通过语言进行推理和思考。这种抽象能力正是人类智能与目前人工智能的本质差别，也正是令初学者百思不得其解的关键。

3）代数几何观点：我们将黎曼面表达成了代数曲线，即维复射影空间的一维紧子簇，那么就可以用代数工具来研究几何。例如多项式环的理想理论、Galois理论、代数曲线相交的Bezout定理等等，很多几何问题转化成代数问题。很多从微分几何角度难以直接理解的概念，在代数观点下相对直观，比如黎曼面间的共形映射等价于代数曲线的双有理变换，黎曼面的亚纯函数变成有理函数，黎曼面的亏格等价于代数曲线的阶数，黎曼面上的Weierstrass点变成了代数曲线的拐点等等。如此，我们可以用计算机代数的方法来求解几何问题，例如Grobner算法等。

最优传输理论也有三种观点：对偶观点、微分几何观点和流体力学观点。1）对偶观点：我们介绍了Monge-Kantorovich理论，由Monge最优传输映射推广为Kantorovich最优传输方案，通过引入c-变换（广义Legendre变换），我们得到对偶问题。再由代价函数的扭曲条件，我们得到Brenier定理。2）微分几何观点：Brenier定理与Minkowski-Alexandrov凸几何理论等价，核心方程都是Monge-Ampere方程。Alexandrov给出初始证明是基于代数拓扑的存在性证明，无法直接计算。在丘成桐先生的代领下，我们发展了基于几何变分原理的计算方法，从而给出Alexandrov定理的一个构造性证明。我们进一步将几何变分法推广到更加广泛的、具有不同的背景几何和传输代价的最优传输问题，包括球面上的Minkowski问题，反射和折射光学系统设计问题等等。3）流体力学观点：最优传输问题可以从流体力学角度来考虑，从而表示成连续最优传输问题：每个粒子在空间流动，将初始密度变成目标密度，同时是每个粒子的路径最短。Benamou-Brenier理论将这个连续最优传输问题等价于寻找一个流场，使得流场的总动能达到最小。Arnold和Otto将流体力学诠释为黎曼几何框架，为Wasserstein空间定义了黎曼度量和绝对微分，从而使得Wasserstein空间的变分法得以施行。由此我们可以推导最大熵的Wasserstein梯度流，和信息论中得到的结论相一致。我们将最优传输理论的几何观点总结成如下的口诀：

**最优传输几何观点口诀**
代价变换支撑
支撑包络势能
势能微分映射
映射对偶凸形

小结

相比于往年，2022年的课程设置加深了理论难度，比如我们详尽讲解了Abel-Jacobi理论和Riemann-Roch理论，同时加深了工程难度，例如我们增设了3D视觉的算法，给出了结构光扫描、点云融合、曲面重建的流程。我们为几乎所有主要定理都设置了编程作业，希望同学们通过编程实践深入理解理论，为实际的工程实践奠定基础。同学们表现出高涨的热情和强烈的求知欲望。很多老同学多年参加这一课程，勤恳踏实地实现了所有的算法。也有很多新同学，在领悟关键概念时苦苦思索，百折不挠，最终迎来了顿悟。很多同仁老师和笔者讨论很多深刻的学术课题，提出了中肯的意见和建议。很多同学也和笔者开始了学术工程方面的合作，更有同学取得了学术上实质性的突破，非常可喜可贺！

最后，笔者向所有参加课程的老师们和同学们表达由衷的感谢！感谢大家对于共形几何的激情，感谢大家的大力支持和持续鼓励！由衷希望计算共形几何的理论和算法能够帮助大家拓广知识领域，增加思想深度，提高鉴赏能力，增强工程技能！祝愿大家未来在各自的学习和科研领域中取得更大成绩！

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