速度，加速度和开普勒第二定律

F(t)=<t-sint,1-cost)

v → = d r → d t = < d x d t , d y d t , d z d t > \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}> v =dtdr =<dtdx,dtdy,dtdz>(速度矢量 velocity vector)

摆钟的例子 Example for cycloid

v → \overrightarrow{v} v =<1-cost, sint>

Speed 标量(scalar)
∣ v → ∣ |\overrightarrow{v}| ∣v ∣ magnitude of vector
∣ v → ∣ = ( 1 − c o s t ) 2 + s i n 2 t |\overrightarrow{v}|=\sqrt{(1-cost)^2+sin^2t} ∣v ∣=(1−cost)2+sin2t
= 2 − 2 c o s t =\sqrt{2-2cost} =2−2cost
加速度(Acceleration) a vector!
a → = d v → d t \overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt} a =dtdv
e.g. cycloid : a → = < s i n t , c o s t > \overrightarrow{a}=<sint,cost> a =<sint,cost>
弧长(arc length)
s 表示沿着轨迹所走的路程(distance traveled along the trajectory)
s versus t?
∣ d s d t ∣ |\frac{ds}{dt}| ∣dtds∣=speed= ∣ v → ∣ |\overrightarrow{v}| ∣v ∣
Example:length of an arch of cycloid is ∫ 0 2 π 2 − 2 c o s t d t \int_{0}^{2\pi}\sqrt{2-2cost}dt ∫02π2−2cost dt
轨道的单位矢量(unit vector to the trajectory)
T ^ = v → ∣ v → ∣ \hat{T}=\frac{\overrightarrow{v}}{|\overrightarrow{v}|} T^=∣v ∣v
联系之前： v → = d r → d t = d r → d s . d s d t = T ^ . d s d t \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=\frac{d\overrightarrow{r}}{ds} .\frac{ds}{dt}=\hat{T}.\frac{ds}{dt} v =dtdr =dsdr .dtds=T^.dtds
速度矢量(velocity) has { d i r e c t i o n ; t a n g e n t t o t r a j T ^ l e n g t h ; s p e e d ; d s d t \left\{\begin{matrix} direction \ ;tangent \ to \ traj \hat{T}\\ length; \ speed; \ \frac{ds}{dt} \end{matrix}\right. {direction ;tangent to trajT^length; speed; dtds
In time Δ t \Delta t Δt:

Δ s Δ t ≈ s p e e d \frac{\Delta s}{\Delta t} \approx speed ΔtΔs≈speed
Δ r → Δ t ≈ T ^ . Δ s Δ t \frac{\Delta \overrightarrow{r}}{\Delta t} \approx \hat{T}.\frac{\Delta s}{\Delta t} ΔtΔr ≈T^.ΔtΔs
Limit as Δ t → 0 \Delta t \rightarrow0 Δt→0 gives
d r → d t = T ^ . d s d t \frac{d \overrightarrow{r}}{dt} = \hat{T}.\frac{d s}{d t} dtdr =T^.dtds
开普勒第二定律(Kepler’s second law 1609)
—每一个行星的运动都把持在同一平面内
(Motion of planets is in the plane)
—太阳和行星的连接以相同速率扫过的面积相等
(the area is swept out by the line from Sun to planet at a constant rate)
— area ≈ 1 2 ∣ v → × Δ r → ∣ \approx \frac{1}{2}|\overrightarrow{v} \times \Delta \overrightarrow{r}| ≈21∣v ×Δr ∣
swept in time Δ t \Delta t Δt(small)
Δ r → = v → . Δ t \Delta \overrightarrow{r}=\overrightarrow{v}.\Delta t Δr =v .Δt

area ≈ 1 2 ∣ v → × r → ∣ . Δ t \approx \frac{1}{2}|\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{r}|.\Delta t ≈21∣v ×r ∣.Δt
law says : ∣ v → × r → ∣ |\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{r}| ∣v ×r ∣ is a constant
—Plane of motion contains r → a n d v → \overrightarrow{r} and \overrightarrow{v} r andv
directions of r → × v → \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v} r ×v = normal to the plane of motion
⇔ ∣ r → × v → ∣ \Leftrightarrow |\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}| ⇔∣r ×v ∣ = constant vector
⇔ d d t ( r → × v → ) = 0 \Leftrightarrow\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v})=0 ⇔dtd(r ×v )=0
Product Rule OK
for d d t ( a → × b → ) , d d t ( a → . b → ) \frac{d}{dt}(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}),\frac{d}{dt}(\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}) dtd(a ×b ),dtd(a .b )
⇔ d r → d t × v → + r − 1 d v → d t = 0 \Leftrightarrow\frac{d\overrightarrow{r} }{dt}\times \overrightarrow{v}+r^{-1}\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=0 ⇔dtdr ×v +r−1dtdv =0
⇔ v → × v → + r − 1 × a → = 0 \Leftrightarrow\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v}+r^{-1} \times \overrightarrow{a}=0 ⇔v ×v +r−1×a =0
⇔ r → × a → = 0 \Leftrightarrow\overrightarrow{r} \times\overrightarrow{a} =0 ⇔r ×a =0
⇔ r → / / a → \Leftrightarrow\overrightarrow{r} // \overrightarrow{a} ⇔r //a

人工智能教程 - 数学基础课程1.2 - 数学分析（二）6-7. 速度，加速度和开普勒第二定律相关推荐

人工智能教程 - 数学基础课程1.5 - 离散数学-3-5 不变式,第二数学归纳法
不变式和第二数学归纳法 Good proofs are: correct complete clear brief elegant well-organized inorder introductio ...
Java面向对象程序设计实训教程_JAVA课程实验报告实验二 JAVA面向对象程序设计...
课程:Java程序设计班级:1352 姓名:黄伟业学号:20135315 成绩: 指导教师:娄嘉鹏实验日期:2015.5.7 实验密级: 预习 ...
免费教材丨第51期：数学基础课程----概率论教程、机器学习中的数学基础
小编说过去几个月里,有不少人联系我,向我表达他们对人工智能.数据科学.对利用机器学习技术探索统计规律性,开发数据驱动的产品的热情.但是,我发现他们中有些人实际上缺少为了获取有用结果的必要的数学直觉和 ...
人工智能：数学基础视频教程-陆永剑-专题视频课程
人工智能:数学基础视频教程-1787人已学习课程介绍人工智能-数学基础视频培训课程概况:讲解人工智能.机器学习和深度学习过程中用到的数学知识.包括线性代数.微积分.信息论等等人工智 ...
人工智能必备数学基础全套课程
基本数学基础高等数学基础微积分泰勒公式与拉格朗日线代数基础特征值与矩阵分解随机变量概率论基础数据科学分布函数变换熵与激活函数回归分析假设检验相关性分析方差分析聚类分析贝 ...
国家教学名师谈人工智能通识课程的教与学
转自:书圈本文来自浙江工业大学教授.国家教学名师王万良教授于7月26日在2020全球人工智能技术大会上发表的题为"人文社科大学生的人工智能教育:人工智能通识课程建设探索"的演讲, ...
进军人工智能，数学基础很重要？
随着科技的快速发展,人工智能的重要性日渐显现. 对于大多数新手来说,弄清楚入门人工智能需要哪些数学基础.需要熟悉什么框架等,都至关重要. 机器学习是一个异常丰富的研究领域,有大量未解决的问题:公正.可 ...
人工智能必备数学基础--精华笔记
人工智能必备数学基础--笔记废话笔记高等数学基础函数极限函数的连续性导数偏导数方向导数梯度微积分求曲边面积定积分第一中值定理牛顿-莱布尼茨公式泰勒公式与拉格朗日泰勒公 ...
AI钜惠第三弹 | 人工智能的数学基础
<人工智能的数学基础> 金牌数学讲师+权威期刊/会议论文发表人大咖手把手,带你搞定数学课程直播+作业练习+助教答疑全方位保证学习效果 10月25日直播开讲原价999元,限时优惠价 ...

人工智能教程 - 数学基础课程1.2 - 数学分析（二）6-7. 速度，加速度和开普勒第二定律

速度，加速度和开普勒第二定律

F(t)=<t-sint,1-cost)

v → = d r → d t = < d x d t , d y d t , d z d t > \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}> v =dtdr =<dtdx,dtdy,dtdz>(速度矢量 velocity vector)

摆钟的例子 Example for cycloid

v → \overrightarrow{v} v =<1-cost, sint>

人工智能教程 - 数学基础课程1.2 - 数学分析（二）6-7. 速度，加速度和开普勒第二定律相关推荐

最新文章

热门文章

人工智能教程 - 数学基础课程1.2 - 数学分析（二）6-7. 速度，加速度和开普勒第二定律

速度，加速度和开普勒第二定律

F(t)=<t-sint,1-cost)

v → = d r → d t = < d x d t , d y d t , d z d t > \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}> v =dtdr ​=<dtdx​,dtdy​,dtdz​>(速度矢量 velocity vector)

摆钟的例子 Example for cycloid

v → \overrightarrow{v} v =<1-cost, sint>

人工智能教程 - 数学基础课程1.2 - 数学分析（二）6-7. 速度，加速度和开普勒第二定律相关推荐

最新文章

热门文章

v → = d r → d t = < d x d t , d y d t , d z d t > \overrightarrow{v}=\frac{d\overrightarrow{r}}{dt}=<\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt},\frac{dz}{dt}> v =dtdr =<dtdx,dtdy,dtdz>(速度矢量 velocity vector)