数学基础 -- 基础定义(集合、实数集、映射、函数)

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定义

集合：是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体，这些对象称为该集合的元素。

基数： 集合中元素的个数称为集合的基数，又称为势（记为 |A|）

常见集合：

自然数： N \mathbb{N}

整数： Z \mathbb{Z}

有理数 : Q \mathbb{Q}

实数： R \mathbb{R}

复数： C \mathbb{C}

空集： ∅ \varnothing

表示符号

存在： ∃ \exists

任意： ∀ \forall

*

集合运算

交集： A∩B=x:x∈A且x∈B A \cap B= {x: x \in A且x\in B}

并集： A∪B=x:x∈A或x∈B A \cup B= {x: x\in A或x \in B}

差集： A∖B=x:x∈A且x∉B A \setminus B = {x: x\in A 且 x\notin B}

区间

开区间： (a,b) = { x:a<x<b x: a }

闭区间： [a,b] = { x:a≤x≤b x: a \leq x \leq b }

领域

领域： U(a,ϵ) U(a, \epsilon) = { x:a−ϵ<x<a+ϵ x: a - \epsilon }

空心领域： U0(a,ϵ) U_0(a, \epsilon) = { x:a−ϵ<x<a+ϵ且x≠a x: a- \epsilon }

实数集

实数集上的数和数轴上的点一一对应

有理数：在数轴上以稠密的方式存在： ∀(a,b)∩Q≠∅ \forall(a,b) \cap \mathbb{Q} \neq \varnothing

等势

Z≈N \mathbb{Z} \approx \mathbb{N}

N≈Q \mathbb{N} \approx \mathbb{Q}

(0,1)≈R (0,1) \approx \mathbb{R}

N不等势R \mathbb{N} 不等势 \mathbb{R}

映射
- f:A→B f: A \rightarrow B : 两个非空集合中A,B，存在法则f,使得A 中的每个元素a都能在B中找到唯一确定的元素b。b 称为a在映射下的象： b=f(a) b = f(a)
- 单射： A元素在B上必有象
- 满射： B元素在A上必有原象
- 双射：一一映射
常用不等式
- 三角不等式： |x+y|≤|x|+|y| |x+y| \leq |x|+|y|
- 伯努利不等式：对于 ∀x:x≥−1,∀n:n∈Z \forall x : x \geq -1,\forall n : n \in \mathbb{Z} ,则
  (1+x)n≥1+nx (1+x)^n \geq 1+nx
- 算数平均值大于等于几何平均值：对于任意n个非负实数则有:
  x1+x2+x3+⋯+xnn≥x1x2x3⋯xn−−−−−−−−−−√n \frac {x_1+x_2+x_3+ \cdots +x_n}{n} \geq \sqrt [n]{x_1x_2x_3\cdots x_n}
六类基本初等函数
- 常数函数： y=C y = C
- 幂函数： y=xa,a>0 y = x^a , a >0
- 指数函数： y=ax,a>0 y = a ^x ,a >0 (与对数函数互为反函数)
- 对数函数： y=logxa,a>0,a≠1 y = log_a^x , a>0 ,a \neq 1
- 三角函数： y=sinx,y=conx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx y = sinx , y = conx, y= tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx
  六角关系:顺时针方向画 sinx、cosx、cots、cscx、secx、tanx，组成的圆中间为1：
  sinx2+conx2=1,tanx2+1=secx2,1+cotx2=cscx2 sinx^2 + conx^2 =1 , tanx^2 +1 = secx^2 ,1+cotx^2 = cscx^2
  sinx∗cscx=1,tanx∗cotx=1,cosx∗secx=1 sinx*cscx =1 ,tanx * cotx =1 ,cosx* secx =1
  sinx=cosxcotx,cosx=cotxcscx,⋯tanx=sinxcosx sinx = \frac {cosx}{cotx} ,cosx = \frac {cotx}{cscx},\cdots tanx= \frac {sinx}{cosx}
- 反三角函数：（三角函数的逆函数）
  arcsinx、arccosx、arccots、arccscx、arcsecx、arctanx
函数奇偶性

** 奇函数：关于x轴对称 f(x)=−f(−x) f(x) = -f(-x) , e.g. sinx=−sinx(−x) sinx = -sinx(-x)
** 偶函数：关于y轴对称 f(x)=f(−x) f(x) = f (-x), e.g. cosx=cos(−x) cosx = cos(-x)

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