兩隨機變數乘積的期望值

以下推導參考Distribution of the product of two random variables - Expectation of product of random variables。

E⁡(XY)=E⁡(E⁡(XY∣Y))law of total expectation=E⁡(Y⋅E⁡[X∣Y])外層給定Y=y,所以Y對內層期望值來說為常數\begin{aligned} \operatorname{E}(XY) &= \operatorname{E} ( \operatorname{E} (X Y \mid Y)) && \text{law of total expectation}\\&= \operatorname{E} ( Y\cdot \operatorname{E}[X\mid Y]) && \text{外層給定Y=y,所以Y對內層期望值來說為常數}\end{aligned}E(XY)=E(E(XY∣Y))=E(Y⋅E[X∣Y])law of total expectation外層給定Y=y,所以Y對內層期望值來說為常數

這條式子不論XXX和YYY是否獨立都成立。

其中law of total expectation的介紹和證明可以參考law of total expectation。

在XXX和YYY獨立的情況下，有：
E⁡[X∣Y]=E⁡[X]\operatorname{E}[X \mid Y] =\operatorname{E}[X] E[X∣Y]=E[X]
將它代入上式得：
E⁡(XY)=E⁡(Y⋅E⁡[X∣Y])=E⁡(Y⋅E⁡[X])X的期望值並不受Y影響=E⁡(X)E⁡(Y)把E⁡(X)這個常數從E⁡裡搬出來\begin{aligned}\operatorname{E}(XY) &= \operatorname{E} ( Y\cdot \operatorname{E}[X\mid Y]) \\& = \operatorname{E} ( Y\cdot \operatorname{E}[X])&& X\text{的期望值並不受}Y\text{影響} \\&= \operatorname{E}(X) \operatorname{E}(Y) && \text{把}\operatorname{E}(X)\text{這個常數從}\operatorname{E}\text{裡搬出來} \end{aligned}E(XY)=E(Y⋅E[X∣Y])=E(Y⋅E[X])=E(X)E(Y)X的期望值並不受Y影響把E(X)這個常數從E裡搬出來

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