【Matlab】解多元方程以三元方程为例使用 solve 函数

Solve Multivariate Equations and Assign Outputs to Variables
解多重方程组并且赋值给输出变量

解如下系统方程：
{ 2 u 2 + v 2 = 0 u − v = 1 \left\{\begin{aligned} &2u^2 + v^2 = 0 \\ &u - v = 1 \end{aligned}\right. {2u2+v2=0u−v=1

超过一个变量时，制定变量的顺序定义了求解器 solver 返回结果的顺序。

syms u v
eqns = [2*u^2 + v^2 == 0, u - v == 1];
vars = [v u];
[solv, solu] = solve(eqns,vars)

结果为：

solv =- (2^(1/2)*1i)/3 - 2/3(2^(1/2)*1i)/3 - 2/3solu =1/3 - (2^(1/2)*1i)/3(2^(1/2)*1i)/3 + 1/3

Ref: solve-MathWorks

再求解一下我自己当时遇到的问题

求解以下三元三次微分方程组：
{ ( a t f + b ) 2 = 2 ( a t f + 2 b ) t f − 2 = 0 a t f 3 + 3 b t f 2 − 6 t f − 60 = 0 \left\{\begin{aligned} &(a t_f + b)^2 = 2 \\ &(a t_f + 2 b) t_f - 2 = 0 \\ &a t_f^3 + 3 b t_f^2 - 6 t_f - 60 = 0 \\ \end{aligned}\right. ⎩⎪⎨⎪⎧(atf+b)2=2(atf+2b)tf−2=0atf3+3btf2−6tf−60=0

syms a b tf
eqns = [(a*tf+b)^2==2, (a*tf+2*b)*tf-2==0, a*tf^3+3*b*tf^2-6*tf-60==0];
vars = [a b tf];
[a b tf] = solve(eqns, vars)

结果为：

a =root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 1)^2/900 - root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 1)/15 - 1/450root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 2)^2/900 - root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 2)/15 - 1/450root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 3)^2/900 - root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 3)/15 - 1/450root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 4)^2/900 - root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 4)/15 - 1/450b =root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 1)^2/30 - 1/15root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 2)^2/30 - 1/15root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 3)^2/30 - 1/15root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 4)^2/30 - 1/15tf =root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 1)root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 2)root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 3)root(z^4 - 2*z^2 - 120*z - 1800, z, 4)

结果出现了上述情况，可直接使用 double() 解决，参考这篇文章matlab解方程出现root，如何获得数值解：，因此有以下解决办法

>> double(a)ans =0.4254 + 0.0000i-0.0011 + 0.4418i-0.0011 - 0.4418i-0.4276 + 0.0000i>> double(b)ans =1.0720 + 0.0000i-1.4475 + 0.3052i-1.4475 - 0.3052i1.6897 + 0.0000i>> double(tf)ans =-5.8447 + 0.0000i-0.7071 - 6.4751i-0.7071 + 6.4751i7.2589 + 0.0000i

考虑到 t f t_f tf 变量代表时间的末端时刻值，因此不能有负值和虚部，因此
t f = 7.2589 b = 1.6897 a = − 0.4276 \begin{aligned} t_f &= 7.2589 \\ b &= 1.6897 \\ a &= -0.4276 \\ \end{aligned} tfba=7.2589=1.6897=−0.4276

求解含有未知变量的方程组

如系统含有三个未知量 u , v , x u, v, x u,v,x，方程组的形式为
{ u + v + x = 0 u − v = 1 \left\{\begin{aligned} &u + v + x = 0 \\ &u - v = 1 \end{aligned}\right. {u+v+x=0u−v=1

求解 u u u 和 v v v 的表达式

程序如下

syms u v x real
eqns = [u + v + x == 0, u - v == 1];
vars = [v u];
[solv, solu] = solve(eqns,vars)

结果为：

solv =- x/2 - 1/2solu =1/2 - x/2

v = − x 2 − 1 2 u = 1 2 − x 2 \begin{aligned} v &= -\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \\ u &= \frac{1}{2} - \frac{x}{2} \\ \end{aligned} vu=−2x−21=21−2x

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