高等数学——简单直观地了解定积分

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今天是高等数学第11篇文章，我们来看看定积分的相关内容。

对于很多人来说定积分的内容其实早在高中就已经接触过了，比如在高中物理当中，我们经常使用一种叫做”微元法“的方法来解决一些物理问题。但实际上所谓的”微元法“本质上来说其实就是一种微积分计算方法。我们来看两个简单的例子。

微分与积分的例子

第一个例子是扇形的面积计算，先别急着笑，我知道这个是初中的内容。扇形的面积谁不会算，扇形的面积等于圆的面积乘上圆心角嘛。

圆的面积我们都知道S=πr2S=\pi r^2S=πr2，如果是扇形的话，再加上圆心角，我们用弧度制来表示圆心角，可以直接进行计算：S=πr2θS=\pi r^2 \thetaS=πr2θ。

除此之外还有别的办法吗？

当然是有的，我们来看下面这张图：

在下面这张图当中，我们从扇形上切了一小块出来，做了一个直角三角形。我们令这个直角三角形无限窄，那么它的面积就可以近似于这一块小扇形的面积。

直角三角形的面积很简单，我们都会算，我们令短的直角边长度是l。那么这个小三角形的面积就等于12lr\frac{1}{2}lr21lr。

我们如此操作，可以把这一块扇形分割成无数个这样的小三角形，最后我们把这些小三角形的面积全部加起来，就可以得到扇形的面积。由于l趋向于0，每一个小三角形和小扇形的面积差的极限都是0，所以可以近似看成它们相等。

这样一番操作之后，我们可以用无数个小三角形的面积来代替扇形的面积。对于这些小三角形而言，它们的面积都是12lr\frac{1}{2}lr21lr。把它们进行累加，本质上也就是把这些所有的短边进行累加。那么显然，这些所有的短边累加之后的结果就是扇形的弧长。

我们假设这块扇形的弧长是L，那么整个扇形的面积还可以表示成12rL\frac{1}{2}rL21rL。

我们可以简单验证一下，一个完整的圆也可以看成是一个扇形。一个完整的圆，它的弧长，也就是周长是2πr2\pi r2πr。我们代入刚才的公式，得到的结果和圆的面积公式吻合，所以我们的计算是正确的。

在这个例子当中扇形分割成的每个小三角形是一样的，所以我们可以直接进行累加。如果我们微分之后的结果不再是固定的，是变化的，那么应该怎么办？

我们再来看另外一个例子：

比如我们要求a和b两点围成的曲线矩形的面积，我们也可以将矩形进行拆分。我们可以无限拆分成多个小的矩形的面积去替代。我们可以很容易证明，当Δx\Delta xΔx趋向于0的时候，那一块小的矩形面积和曲线矩形的面积相等。所以我们可以把它拆分成无数个这样的矩形，然后将所有的面积求和，就得到了曲线围成的面积。

对于每一块矩形而言，它们的宽都是Δx\Delta xΔx，但是它们的高都不相同。但是很容易看出来，它们的高都是区间里某一个坐标的函数值。其实我们可以写出来这些序列的值，它们分别是: a, a+Δx\Delta xΔx, a + 2Δx\Delta xΔx, …, b。

为了方便书写，我们令这个序列等于{ξ1,ξ2,⋯,ξn}\{\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n\}{ξ1,ξ2,⋯,ξn}

所以曲线围成的面积可以写成：

Sc=lim⁡Δx→0∑i=1nf(ξi)ΔxS_{c}=\lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta xSc=Δx→0limi=1∑nf(ξi)Δx

定积分的定义

我们观察一下上面这个问题，其实我们知道了很多信息，比如我们知道了函数f(x)，我们还知道了a和b的值，看起来已经离结果很近了。的确如此，但是在我们继续往下之前，我们必须要明确一点，我们这样的推算是有前提的。

最大的也是隐藏的前提就是我们做的划分，我们必须要保证两点，首先我们要保证当Δx\Delta xΔx趋向于0的时候，矩形高度的极限是确定的。并且这些小矩形的面积和的极限趋近于它真实的面积。

我们用数学的语言来表达，也就是说，我们无论如何选取每一个ξi\xi_iξi，我们都要保证lim⁡Δx→0∑i=1nf(ξi)Δx\lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta xlimΔx→0∑i=1nf(ξi)Δx是一个定值，这样我们就可以把这个式子写成定积分的形式：

∫abf(x)dx=lim⁡Δx→0∑i=1nf(ξi)Δxi\int_a^bf(x)dx = \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i∫abf(x)dx=Δx→0limi=1∑nf(ξi)Δxi

这里的f(x)称作被积函数，f(x)dxf(x)dxf(x)dx称为被积表达式，x叫做积分变量，a和b分别称为积分的上限和下限。

如果f(x)在[a, b]上的定积分存在，那么就称为f(x)在区间[a, b]上可积。

什么样的函数可积呢？

这个问题要用数学的语言证明不太容易，但是如果从直观上去理解则要简单很多。通过上面的图，我们很轻松可以得到结论：连续函数一定可积，并且如果函数在[a, b]上有界并且只有有限个断点也可积。因为有限个间断点不会影响面积的计算，从这个角度入手，是否可积的判断其实还是很好理解的。

我们明白了可导的定义之后，我们再把之前连续和可导这些性质串起来，我们就可以编出高数顺口溜了：

可导一定连续，连续不一定可导。
连续一定可积，可积不一定连续。
可导一般可积，可积不一定可导。

理解并且记住这个顺口溜可是学好高数的基础，不信可以去问问考研党，这几句必然朗朗上口。如果觉得晕头转向也没关系，以后有机会会单独开一篇文章好好讲讲这几个顺口溜。

简单性质

最后，我们来看下定积分的一些简单性质。

第一个是加法性质，∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx = \int_a^b f(x)dx \pm \int_a^b g(x)dx∫ab[f(x)±g(x)]dx=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx

这个很好证明，我们只需要将它转化成累加的形式就可以把括号里相加的内容拆开：

∫ab[f(x)±g(x)]dx=lim⁡Δx→0∑i=1n[f(ξi)±g(ξi)]Δxi=lim⁡Δx→0∑i=1nf(ξi)Δxi±lim⁡Δx→0∑i=1ng(ξi)Δxi=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx\begin{aligned} \int_a^b [f(x) \pm g(x)]dx &= \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n[f(\xi_i)\pm g(\xi_i)]\Delta x_i\\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Delta x_i \pm \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{i=1}^n g(\xi_i)\Delta x_i\\ &=\int_a^bf(x)dx\pm \int_a^b g(x)dx \end{aligned} ∫ab[f(x)±g(x)]dx=Δx→0limi=1∑n[f(ξi)±g(ξi)]Δxi=Δx→0limi=1∑nf(ξi)Δxi±Δx→0limi=1∑ng(ξi)Δxi=∫abf(x)dx±∫abg(x)dx

另一个经常用到的性质是延续性质，假设f(x)在整个区间上可积，那么我们可以得到：

∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\int_a^b f(x)dx = \int_a^c f(x)dx + \int_c^b f(x)dx∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx

不论a，b，c之间的大小关系如何，上面的式子都成立。证明方法和刚才一样，我们将积分用累加形式来表示，代入即可。

最后一个性质是保号性，假设f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积。并且对于任意x属于[a, b]都有f(x)≤g(x)f(x) \leq g(x)f(x)≤g(x)，那么我们可以得到：∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx\int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b g(x)dx∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.

这个证明也很简单，我们令h(x)=g(x)−f(x)≥0h(x) = g(x) - f(x) \geq 0h(x)=g(x)−f(x)≥0，我们对h(x)进行积分，得到的结果自然大于等于0，再结合刚才的积分的加法性质，我们就可以移项得到结果了。

除了上面提到的三个性质之外，定积分还有很多其他的一些性质。但是这些性质一则比较琐碎，另外也比较直观，值得研究的内容不太多，所以我们不过多涉入，感兴趣的同学可以自行了解。

不知道看了这么多你是不是会有一些问号呢，我们分析了这么多，那么定积分究竟应该怎么计算呢？

这个问题先不着急回答，因为如果你学过微积分的话，那么对于怎么计算积分应该还有一些印象。如果没有的话，直接给出结论并没有什么用，在数学上结论总是需要我们通过严谨的推导的，否则就是空中楼阁，即使记住了，以后也总会忘记的。所以关于定积分的计算推导过程，我们放到下一篇文章当中，敬请期待啦。

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