Frightful Formula（杨辉三角求和 组合数学）
original link - https://www.luogu.org/problem/P4351
题意：
一个 n ∗ n n*n n∗n矩阵，给出第一行的数 x i x_i xi和第一列的数 y i y_i yi，其他的数 F ( i , j ) = a F ( i , j − 1 ) + b F ( j , i − 1 ) + c F(i,j)=aF(i,j-1)+bF(j,i-1)+c F(i,j)=aF(i,j−1)+bF(j,i−1)+c。求 F ( n , n ) F(n,n) F(n,n)。
解析：
简答推几项可以发现 F F F中的 x i , y i , c x_i,y_i,c xi,yi,c是独立的，所以考虑怎么快速求出每一项的系数矩阵。
假设左上角为 1 1 1，那么推出的每个位置的贡献应该是这样的：
[ 1 a a 2 a 3 b 2 a b 3 a 2 b 4 a 3 b b 2 3 a b 2 6 a 2 b 2 10 a 3 b 2 b 3 4 a b 3 10 a 2 b 3 20 a 3 b 3 ] \begin{bmatrix} 1&a&a^2&a^3\\b&2ab&3a^2b&4a^3b\\b^2&3ab^2&6a^2b^2&10a^3b^2\\b^3&4ab^3&10a^2b^3&20a^3b^3 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡1bb2b3a2ab3ab24ab3a23a2b6a2b210a2b3a34a3b10a3b220a3b3⎦⎥⎥⎤
可以发现是杨辉三角乘上 a i b j a^ib^j aibj，坑的在于 F ( 1 , i ) F(1,i) F(1,i)对 F ( 1 , i + 1 ) F(1,i+1) F(1,i+1)并没有贡献，所以要将 F ( 1 , i ) ∗ b F(1,i)*b F(1,i)∗b作为 1 1 1，从 ( 2 , i ) (2,i) (2,i)开始。
这是比较简单的部分，还有 c c c的系数呢， c c c从 F ( 2 , 2 ) F(2,2) F(2,2)开始，贡献应该是：
[ 1 a + 1 b + 1 a ( b + 1 ) + b ( a + 1 ) + 1 ] \begin{bmatrix} 1&a+1\\b+1&a(b+1)+b(a+1)+1 \end{bmatrix} [1b+1a+1a(b+1)+b(a+1)+1]
这样不太好考虑，我们发现和原来的区别在于每一个位置多了一个 1 1 1，所以自己推一下可以发现就是原来的那个矩阵求和：
[ 1 a a 2 a 3 b 2 a b 3 a 2 b 4 a 3 b b 2 3 a b 2 6 a 2 b 2 10 a 3 b 2 b 3 4 a b 3 10 a 2 b 3 20 a 3 b 3 ] \begin{bmatrix} 1&a&a^2&a^3\\b&2ab&3a^2b&4a^3b\\b^2&3ab^2&6a^2b^2&10a^3b^2\\b^3&4ab^3&10a^2b^3&20a^3b^3 \end{bmatrix} ⎣⎢⎢⎡1bb2b3a2ab3ab24ab3a23a2b6a2b210a2b3a34a3b10a3b220a3b3⎦⎥⎥⎤
考虑斜着的每一列，发现副对角线以上部分，每一列的和都可以从上一列的和乘上 ( a + b ) (a+b) (a+b)得到，而过了副对角线后要减掉两边那两个的贡献。以第 4 4 4列（ b 3 , 3 a b 2 , 3 a 2 b , a 3 b^3,3ab^2,3a^2b,a^3 b3,3ab2,3a2b,a3）为例，往下的 b 3 ∗ b b^3*b b3∗b已经超出矩阵了，所以要减掉。
代码：
/** Author : Jk_Chen* Date : 2019-09-22-14.30.03*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
#define rep(i,a,b) for(int i=(int)(a);i<=(int)(b);i++)
#define per(i,a,b) for(int i=(int)(a);i>=(int)(b);i--)
#define mmm(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define pb push_back
#define pill pair<int, int>
#define fi first
#define se second
#define debug(x) cerr<<#x<<" = "<<x<<'\n';
const LL mod=1e6+3;
const int maxn=1e6+2;
LL rd(){ LL ans=0; char last=' ',ch=getchar();while(!(ch>='0' && ch<='9'))last=ch,ch=getchar();while(ch>='0' && ch<='9')ans=ans*10+ch-'0',ch=getchar();if(last=='-')ans=-ans; return ans;
}
/*_________________________________________________________begin*/LL Pow(LL a,LL b,LL mod){LL res=1;while(b>0){if(b&1)res=res*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return res;
}
/*_________________________________________________________Pow*/LL fac[maxn];
LL ifac[maxn];
LL C(int i,int j){return fac[i]*ifac[j]%mod*ifac[i-j]%mod; }LL n,a,b,c;LL Pa[maxn],Pb[maxn];
LL Get(int i,int j){return C(i+j-2,i-1)*Pa[j-1]%mod*Pb[i-1]%mod;}
LL Row[maxn],Column[maxn];
int main(){fac[0]=1;rep(i,1,maxn-1)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;ifac[maxn-1]=Pow(fac[maxn-1],mod-2,mod);per(i,maxn-2,0){ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;}n=rd(),a=rd(),b=rd(),c=rd();Pa[0]=Pb[0]=1;rep(i,1,maxn-1)Pa[i]=Pa[i-1]*a%mod,Pb[i]=Pb[i-1]*b%mod;rep(i,1,n){Column[i]=rd();}rep(i,1,n){Row[i]=rd();}LL ans=0;rep(i,2,n){ans=(ans+Row[i]*b%mod*Get(n-1,n-i+1)%mod)%mod;}rep(i,2,n){ans=(ans+Column[i]*a%mod*Get(n-i+1,n-1)%mod)%mod;}LL sum=1;n--;LL tmp=1;rep(i,2,n){tmp=tmp*(a+b)%mod;sum=(sum+tmp)%mod;}rep(i,2,n){tmp=(tmp*(a+b)-Get(n,i-1)*b-Get(i-1,n)*a)% mod;sum=(sum+tmp)%mod;}sum=sum*c%mod;ans%=mod;ans=((ans+sum)%mod+mod)%mod;printf("%lld\n",ans);return 0;
}/*_________________________________________________________end*/
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