蓝桥杯——最大最小公倍数

算法训练最大最小公倍数

问题描述：
已知一个正整数N，问从1~N中任选出三个数，他们的最小公倍数最大可以为多少。
输入格式：
输入一个正整数N。
样例输入：
9
样例输出：
504
数据规模与约定
1 <= N <= 10⁶

题目分析

这应该算是考究数学知识的一道题

先提出一个问题：假设有三个正整数a、b、c，我们如何求得它们的最小公倍数？
这个问题的有个简单直接的解决方法：

1.调整a、b、c的值，使得a的值最大。
2.将a和另一个正整数n相乘，判断相乘结果是否同时为b、c的倍数，如果是，则结束循环，否则，n自增后继续和a做乘法，直到相乘结果同时为b、c的倍数。（n >= 1）

上述方法其实就是通过穷举的方式寻找出三个最小公倍数，可以，但是没必要，因为在数据量大的时候性能会很差。

有一个数学常识大家都知道：三个正整数的最小公倍数不会大于这三个数的乘积
也就是说，a、b、c三个数的最小公倍数最大的时候就是 a * b * c
那么问题来了，当a、b、c满足什么条件时，它们的最小公倍数是他们的乘积呢？

我们可以先简化这个问题——当两个正整数的值满足什么条件时，它们的最小公倍数最大？
显然，当这两个数互质时，它们的最小公倍数最大，也就是它们的乘积

那么在正整数个数增加到三个的时候，当他们的数值关系为两两互质的时候，它们的最小公倍数为它们的乘积。

题目要求我们在1 ~ N之间任意选择三个数，使得它们的最小公倍数最大。
要使得最小公倍数最大，那么思路可以是：

1.这三个数要两两互质
2.在满足1的前提下，使得三个整数取最大值

第一点已经在上面分析过了。而第2点也很好理解，其实就是贪心策略。

算法分析

根据N的取值的不同主要有三种情况:
大家这么CLEVER，不大于2的情况还需要分析？

1. N为奇数时
当N为奇数时，N - 1为偶数，N - 2为奇数，显然，数学知识告诉我们，相邻的两个正整数互质。同样的，相邻的两个奇数也是互质的，那么此时题目要求的答案为N * (N - 1) * (N - 2)。

2. N为偶数时
因为当N >3时，N 和当N - 3是可能不是互质的，例如3和6。所以偶数时又分为两种可能性：

2.1 当3不能整除N时
当N为偶数时，N - 2同样为偶数，那么就不能满足上面思路的第1点了。但是N和N - 1还是互质的，所以在贪
心策略下，我们优先考虑使用更小的值去替换N - 2，而不是替换N 和 N - 1。
经计算发现 N - 3满足要求，所以此时答案为N * (N - 1) * (N - 3)。

2.2 当3能整除N时
因为N能够被3整除，所以N - 3同样能被3整除，为了不违反第1点，我们再次优先用更小的值替代 N - 3（为
什么又是换掉第三个？因为我贪心啊）。
我们先尝试使用N - 4。但是因为N是偶数，那么N - 4也是偶数，显然这也是不满足第1点的。
我们再尝试使用N - 5。也就是N * (N - 1) * (N - 5) = n³ - 6 * n² + 5 * n。这个也是不
可以的，因为当N = 10时，N - 5 = 5，同样不满足第1点。【这个举例不正确，请参考下方抹茶好喝的评论】

……好像有点没完没了

所以根据贪心策略，在放弃修改最小的数（在这里是N - 3）时，我们优先考虑换掉第中间大小的数（在这里是
N - 2）。但是会发现，无论是使用N - 3、N - 4、N - 5……中的哪一个去替换N - 2，其结果都是跟替换最小的数
（在这里是N - 3）的结果是一样的。所以我们只能开始考虑使用更小的值去替换最大的数，也就是N。
因为采用的是贪心策略，所以我们优先考虑使用N - 1去替换N，此时结果是：(N - 1) * (N - 2) * ( N - 3)。
显然相邻的两个正整数是互质的，我们只要考虑N - 1和N - 3是否互质就可以了。
因为N - 1和 N - 3实际上等同于第1种情况，即N为奇数时，故 (N - 1) * (N - 2) * ( N - 3) 就是题目答案了。

C代码

#include <stdio.h>long long FindMax(long long N){long long res;       if(N <= 2)return N;if(N % 2 != 0){   //第一种情况，N为奇数时，最大最小公倍数为N * (N - 1) * (N - 2)res = N * (N - 1) * ( N - 2); }else{if(N % 3 != 0)      //第二种情况 res = N *(N - 1) * (N - 3);else                   //第三种情况 res = (N - 1) * (N - 2)* (N - 3);}return res;
}int main(){long long N;scanf("%lld",&N);printf("%lld",FindMax(N));return 0;
}

本博文参考自娜一笑最倾城