在光线跟踪算法里，有一个子问题：如何在一个半径为1的单位球里面，产生一个均匀分布的随机的点(相同的体积里有相同数量的点)。下面这篇文章里给出了5种可能的方法 (参考文献[3])。当然，后面我们会看到，这5种方法并不都是对的。

球里面均匀分布的点

方法一：拒绝掉不在球里的点

这个方法是这样，首先我们在x，y，z分别在 [-1, 1] 里均匀采样，这样就能实现在一个立方体里均匀采样。但这样的点可能不在球里，我们把不在球里的点拒绝掉就行。

function getPoint() {    var d, x, y, z;    do {        x = Math.random() * 2.0 - 1.0;        y = Math.random() * 2.0 - 1.0;        z = Math.random() * 2.0 - 1.0;        d = x*x + y*y + z*z;    } while(d > 1.0);    return {x: x, y: y, z: z};}

这里，Math.random() 会产生一个[0,1]之间的均匀分布的随机数。

方法二：选择一个随机的方向和半径

这个方法选择一个随机的向量，然后把它归一化到一个随机的半径。

function getPoint() {    var x = Math.random() - 0.5;    var y = Math.random() - 0.5;    var z = Math.random() - 0.5;    var mag = Math.sqrt(x*x + y*y + z*z);    x /= mag; y /= mag; z /= mag; // 把一个随机的点归一化到单位球面上    var d = Math.random(); // 一个随机的半径    return {x: x*d, y: y*d, z: z*d};}

这个方法会在同样的半径区间里产生同样多的点，比如 半径在 (0.1, 0.2)的区域内产生的点数和半径在 (0.2, 0.3)的区域内的点数，期望是相同的。但是这两个区间的体积却不一样。所以，这个方法并不能产生球内均匀分布的点。

方法三：在球坐标系下选择随机的点

球坐标下，一个点由 r (到原点的距离)，theta(和z轴的夹角)，phi(向量在x-y平面的投影和x轴的夹角)三个变量控制。这个坐标表示如果表示成笛卡尔坐标系，就是

x = r sin(phi) cos(theta)

y = r sin(phi) sin(theta)

z = r cos(phi)

function getPoint() {    var theta = Math.random() * 2.0*Math.PI;    var phi = Math.random() * Math.PI;    var r = Math.random();    var sinTheta = Math.sin(theta);   var cosTheta = Math.cos(theta);    var sinPhi = Math.sin(phi);   var cosPhi = Math.cos(phi);    var x = r * sinPhi * cosTheta;    var y = r * sinPhi * sinTheta;    var z = r * cosPhi;    return {x: x, y: y, z: z};}

球体里的一小块体积

根据上图，球体里的一下快体积正比于 sin(phi)d(theta)d(phi) = d(theta) d(cos(phi))。因此，可以看到，如果phi是均匀分布，但是sin(phi)不是均匀分布。

另外，这个算法里，半径r是均匀分布的，但是半径为r的球和单位球的体积比例是r的三次方。也就是说，r越小，点会越密集。

因为这两个原因，这个方法也不符合要求。

方法四：用高斯分布的随机数

我们首先看代码

function getPoint() {    var u = Math.random();    var x1 = randn(); // 0为均值，1为方差的高斯分布随机数    var x2 = randn();    var x3 = randn();    var mag = Math.sqrt(x1*x1 + x2*x2 + x3*x3);    x1 /= mag; x2 /= mag; x3 /= mag;    var c = Math.cbrt(u); // 立方根    return {x: x1*c, y:x2*c, z:x3*c};}

这个地方要对 u 取立方根，是因为半径为u的球的体积是半径为1的球的体积的 u 三次方倍。

这个地方比较奇怪的是，x，y，z为什么要是高斯分布(正态分布)。这个可以参考参考文献[5][6]。

简单解释一下如下：

正态分布的形式是 f(x) = exp{-(x*x)/2} / sqrt(2PI)

因此，f(x, y, z) = exp{ - (x*x + y*y + z*z)/2 } / Const = exp{ - (r*r)/2 } / Const

因此这样产生的点只和它的模长相关，和各种角度都无关。

方法五：改良的球坐标法

在上面的球坐标法中，有2个问题，1. 角度phi均匀分布不代表cos值均匀分布 2. 球的体积和半径的三次方成正比。因此，我们可以直接让cos(phi)值均匀分布，而不是角度均匀分布，同时，对半径开立方根，来保证体积的均匀分布。

function getPoint() {    var u = Math.random();    var v = Math.random();    var theta = u * 2.0 * Math.PI;    var phi = Math.acos(2.0 * v - 1.0);    var r = Math.cbrt(Math.random());    var sinTheta = Math.sin(theta);    var cosTheta = Math.cos(theta);    var sinPhi = Math.sin(phi);    var cosPhi = Math.cos(phi);    var x = r * sinPhi * cosTheta;    var y = r * sinPhi * sinTheta;    var z = r * cosPhi;    return {x: x, y: y, z: z};}

参考文献

1. 各种分布的证明 http://mathworld.wolfram.com/SpherePointPicking.html
2. 球坐标系的介绍 http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html
3. https://karthikkaranth.me/blog/generating-random-points-in-a-sphere/
4. Marsaglia, G. (1972). Choosing a point from the surface of a sphere,Ann. Math. Statist.,43, 645–646 https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177692644
5. Muller, M. E. (1959). A note on a method for generating points uniformly onN-dimensional spheres,Commun. Ass. Comput. Math. 2, 19–20.
6. http://extremelearning.com.au/how-to-generate-uniformly-random-points-on-n-spheres-and-n-balls/