拉姆齐问题

命题一

任意6个人，其中总有3个人认识或者三个人不认识。

这个问题就等价于完全图，对它的边进行红蓝两个颜色任意着色，其中一定存在一个红色或者蓝色（同色三角形）。

证明：

一个顶点与每个其它5个顶点连线，根据鸽巢原理，至少有条边同色，不妨设3条边为红色，2条边为蓝色

假如v2v3,v3v4,v2v4任意一条边为红色，则出现红色,假如全部为蓝色边，则出现蓝色，即证。

命题二

对完全图进行红蓝两色任意着色，都至少有两个同色三角形（意思为每个三角形的每条边同色，不同三角形不一定同色）。

证明：根据例一已经得出一定有一个同色三角形，不妨令v1v5v6为蓝色三角形，然后进行分类讨论。

（1）假设v1v2,v1v3,v1v4全是红边，则v2v3,v3v4,v2v4任意一条边为红色，就会又出现一个同色三角形，假设都是蓝色，则v2v3v4为蓝色，即出现一个同色三角形。

（2）假设v1v2,v1v3,v1v4其中有一条为蓝色边，不妨设v1v4为蓝色

就会出现以下两种情况：

（i）v4v5,v4v6任意一条为蓝色，就会出现一个蓝色三角形

（ii）v4v5,v4v6均为红边

又分两种情况

第一种情况v4v2,v4v3只要有一条边为红边，则回到了例一的情况

这里一定出现一个同色三角形

第二种情况v4v2,v4v3全为蓝边，也可以回到例一的情况

也一定出现一个同色三角形

所以综上，完全图一定有两个同色三角形。

命题三

一定有一个红色（蓝色）或者蓝色（红色）

证明：

一个顶点a关联的边数为9条，根据鸽巢原理可知，要么至少6条红边，要么至少4条蓝边。

（1）以a为顶点红色边大于等于6条，不妨先画出6条红色边

首先与a关联的6条红边另一头所关联的6个顶点所构成的（即上面一张图的bcdefg）有一个蓝色，如图bcd

即证。

否则，根据命题一，与a关联的6条红边的另一头所关联的6个顶点所构成的一定有一个红色，然后这个和顶点a以及a的连线构成红色，如图abcd

即证。

（2）

以a为顶点的蓝色边大于等于4，不妨画出4条蓝边

首先假设与a关联的4条蓝边另一头所关联的4个顶点构成的（即上面一张图的bcde）其中至少有一条蓝边（只要有一条蓝边），则这条蓝边以及它的顶点和a以及a的连线构成蓝色（如图abc）

否则这个为红色（如图bcde）

命题四

一定有一个红色或者蓝色。

证明：假设每个顶点关联的边都有5条红边，则红边总数不为整数，那么总有一个顶点要么至少6条红边要么至少4条蓝边，我们又回到了命题三的证明，所以得证。

拉姆齐数

对于任意给定的整数，存在最小整数,使得任意,任意进行红蓝两色着色，都存在红色或者蓝色。为拉姆齐数。

可以通过找到刚刚不满足的要求数，来证明。

例如证明。

我们已知,我们只需证明有不满足的情况。如图

所以。

易证：

定理：对任意正整数,有

若和都是偶数，则严格成立。

证明：令，中的一个顶点a所关联的边数为，根据鸽巢原理，中要么至少存在条红边，要么至少存在条蓝边。

（1）假如至少存在条红边，那么与a关联的条红边另一头所关联的顶点构成的，要么出现红色，与顶点a以及条红边构成，要么出现蓝色，所以。

（2）假设至少存在条蓝边，那么与a关联的条蓝边另一头所关联的顶点构成的,要么出现红色，要么出现蓝色，与顶点a以及条蓝边构成，所以。

若和都是偶数，中，假设所有顶点关联的红边数为奇数，则所有顶点关联的红边数之和不为整数，矛盾，所以一定有一个顶点a关联的红边数为偶数，所以a关联的条边，要么至少有条红边，要么至多条红边（则至少条蓝边），这时我们就可以通过上面的方法证明。

拉姆齐数的推广

将红蓝两色推广为任意k种颜色，则,...,表示的是最小整数使得完全图存在颜色的，或者存在颜色的,...,或者存在颜色的。

易证：

,...,,...,

,...,,...,+...,......,

Schur定理

设...,为集合...,的划分，则存在i，使得有三个数（不一定不相同），。其中...,，n个3。

证明：假设...,，并且,则在中，将染为i颜色。则在中存在同色三角形，设为ab,bc,ac,令，则，并且。

拉姆齐定理

设...,,且,则必存在最小正整数...,,...,,,使得S中的

个元素中的所有t元子集在第一个盒子中，或者个元素中的所有t元子集在第二个盒子中,...,或者个元素中的所有t元子集在第n个盒子中。

t=1时，表示的是广义鸽巢原理，所有元素为鸽子，所有盒子为鸽巢，则N为最小整数使得个元素中的所有t元子集在第一个盒子中，或者个元素中的所有t元子集在第二个盒子中,...,或者个元素中的所有t元子集在第n个盒子中。

t=2时，...,...,,二元子集表示为边，盒子表示为颜色，则N为最小整数使得完全图一定出现第一种颜色的,或者第二种颜色的,...,或者第n种颜色的。

易证：