《有限元基础教程》_【MATLAB算例】基于节点六面体单元的空间块体分析(HexahedralDNode)

【MATLAB算例】4.8.2(1) 基于8节点面体单元。基于MATLAB平台，用一个空间8节点六面体单元计算各个节点位移、支座反力以及单元的应力。

(a) 问题描述 (b) 有限元分析模型

图4-23 右端部受集中力作用的空间块体

解答：对该问题进行有限元分析的过程如下。

(1)结构的离散化与编号

将结构离散为一个8节点六面体单元，节点编号如图4-23(b)所示，节点的几何坐标见表4-13。

表4-13 节点的坐标

节点节点坐标/mxyz10.20020.20.80300.80400050.200.660.20.80.6700.80.68000.6节点位移列阵

(4-194)

总的节点载荷列阵

(4-195)

其中，节点外载；支反力为，，，，，，，，，，，；其余节点载荷分量为零。

(2)计算单元的刚度矩阵(以国际标准单位)

首先在MATLAB环境下，输入弹性模量E和泊松比NU，然后针对题中单元节点坐标，调用函数Hexahedral3D8Node_Stiffness，就可以得到单元的刚度矩阵k1 (24×24)。

>>E=1.0e10;

>>NU=0.25;

>>lx=0.2;

>>ly=0.8;

>>lz=0.6;

>>k1=Hexahedral3D8Node_Stiffness(E,NU,lx,0,0,lx,ly,0,0,ly,0,0,0,0,lx,0,lz,lx,ly,lz,0,ly,lz,0,0,lz);

(3) 建立整体刚度方程

由于该结构共有8个节点，则总共的自由度数为24，因此，结构总的刚度矩阵为K K(24×24)，先对KK清零，然后调用函数Hexahedral3D8Node_Assembly进行刚度矩阵的组装。由于本题中只用了一个单元，因此总体刚度矩阵KK与单元刚度k1相同，此处不再列出，调用函数的过程如下：

>>KK=zeros(24,24);

>>KK=Hexahedral3D8Node_Assembly(KK,k1,1,2,3,4,5,6,7,8);

(4) 边界条件的处理及刚度方程求解

由图4-23(b)可以看出，节点1，4，5和8的3个方向的位移将为零，即。因此，将针对节点2，3，6和7的位移进行求解，这4个节点的位移将对应KK矩阵中的4～9行、4～9列，4～9行、16～21列，16～21行、4～9列，以及16～21行、16～21列，则需从KK(24×24)中提取相应行和列的数据，置给k，然后生成对应的载荷列阵p，再采用高斯消去法进行求解，即MATLAB中的反斜线符号“\”求解。

>> k=[KK(4:9,4:9),KK(4:9,16:21);KK(16:21,4:9),KK(16:21,16:21)];

>> p=[0;0;0;0;0;0;0;0;-1e5;0;0;-1e5];

>> u=k\p

u = 1.0e-003 *

0.0223 -0.2769 -0.6728 -0.0223 -0.2769 -0.6728 [将列排成行排量 [] ]

-0.0129 0.3108 -0.7774 0.0129 0.3108 -0.7774 [将列排成行排量 [] ]

由此可以看出，所求得的结果为(单位为m)：

(5)支反力的计算

由方程可知，在得到整个结构的节点位移后，由原整体刚度方程就可以计算出对应的支反力。先将上面得到的位移结果与位移边界条件的节点位移进行组合(注意位置关系)，可以得到整体的位移列阵U(24×1)，再代回原整体刚度方程，计算出所有的节点力P(24×1)，按式的对应关系就可以找到对应的支反力。

>> U=[0;0;0;u(1:6);0;0;0;0;0;0;u(7:12);0;0;0];

>> P=KK*U

P = 1.0e+005 *

-0.2509 1.3333 0.6938 -0.0000