一、Laplace变换

如图所示一个低通滤波器，列基尔霍夫方程，得到线性微分方程：
\[
C{\frac {dV_C}{dt}}+{\frac {V_R}{R}}=0
\]

正是因为电感电容的存在，使得电路方程出现微分、积分项。而Laplace变换将微分方程转化为线性代数方程，成为快速求解微分方程的有力工具。

但是列出电路的微分方程之后再进行Laplace变换，求解之后再进行反变换仍然很复杂，聪明的电子工程师们便想到直接将电路中的电阻器 ®、电容器 © 和电感元件 (L)变换到s域。

R	L	C
R	sL	1 s C {1 \over sC} sC1

于是这个电路可以看作一个分压器

V C ( s ) V i n ( s ) = 1 / C s R + 1 / C s = 1 1 + R C s \frac{V_{C}(s)}{V_{{in}}(s)}={\frac {1/Cs}{R+1/Cs}}={\frac {1}{1+RCs}} Vin(s)VC(s)=R+1/Cs1/Cs=1+RCs1

下面便引出系统的传输函数。

二、传递函数

对于最简单的连续时间输入信号 x ( t ) x(t) x(t) , 和输出信号 y ( t ) y(t) y(t) 来说传递函数 H ( s ) H(s) H(s) 所反映的就是零状态条件下输入信号的拉普拉斯变换 X ( s ) = L { x ( t ) } X(s)={\mathcal {L}}\left\{x(t)\right\} X(s)=L{x(t)} 与输出信号的拉普拉斯变换 Y ( s ) = L { y ( t ) } Y(s)={\mathcal {L}}\left\{y(t)\right\} Y(s)=L{y(t)} 之间的线性映射关系：

Y ( s ) = H ( s ) X ( s ) Y(s) = H(s) X(s) Y(s)=H(s)X(s)
或者
H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = L { y ( t ) } L { x ( t ) } H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{ \mathcal{L} \left\{ y(t) \right\} }{\mathcal{L} \left\{ x(t) \right\} } H(s)=X(s)Y(s)=L{x(t)}L{y(t)}

而当系统为封闭回路的负反馈系统时：

由上图可得：

Y ( s ) = Z ( s ) G ( s ) ⇒ Z ( s ) = Y ( s ) G ( s ) Y(s)=Z(s)G(s)\Rightarrow Z(s)={\dfrac {Y(s)}{G(s)}} Y(s)=Z(s)G(s)⇒Z(s)=G(s)Y(s)
X ( s ) − Y ( s ) H ( s ) = Z ( s ) = Y ( s ) G ( s ) ⇒ X ( s ) = Y ( s ) [ 1 + G ( s ) H ( s ) ] / G ( s ) X(s)-Y(s)H(s)=Z(s)={\dfrac {Y(s)}{G(s)}}\Rightarrow X(s)=Y(s)\left[{1+G(s)H(s)}\right]/G(s) X(s)−Y(s)H(s)=Z(s)=G(s)Y(s)⇒X(s)=Y(s)[1+G(s)H(s)]/G(s)
⇒ Y ( s ) X ( s ) = G ( s ) 1 + G ( s ) H ( s ) \Rightarrow {\dfrac {Y(s)}{X(s)}}={\dfrac {G(s)}{1+G(s)H(s)}} ⇒X(s)Y(s)=1+G(s)H(s)G(s)

三、零极点

传递函数可以写成如下更加普遍的形式：
X ( s ) = N ( s ) D ( s ) = M ∏ i = l R ( s − β i ) ∏ j = l R ( s − α j ) X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} = M \frac{\prod_{i=l}^{R}(s-\beta_{i})}{\prod_{j=l}^{R}(s-\alpha_{j})} X(s)=D(s)N(s)=M∏j=lR(s−αj)∏i=lR(s−βi)
所有让分母 D ( s ) D(s) D(s) 为0等点 s z s_z sz 为系统的极点；
所有让分子 N ( s ) N(s) N(s) 为0等点 s p s_p sp 为系统的零点；

考虑一个由一个零点和两个极点组成的系统，在极坐标上表示为下图：

从上图中可以看出傅立叶变换和拉普拉斯变换的关系：
傅立叶变换为拉普拉斯变换在s平面虚轴 j ω j\omega jω 上的求值。

由此，引出波特图。

四、波特图

从上图中可以看到，系统的传递函数 H ( J ω ) H(J\omega) H(Jω) 其实就是将复平面中极点零点到虚轴上某一点的向量相乘除：

H ( j ω ) = N → M 1 → M 2 → = j ω − z 1 ( j ω − p 1 ) ( j ω − p 2 ) H(j\omega) = \frac{\stackrel{\rightarrow}{N}}{\stackrel{\rightarrow}{M_1} \stackrel{\rightarrow}{M_2}} = \frac{j\omega - z_1}{(j\omega - p_1)(j\omega - p_2)} H(jω)=M1→M2→N→=(jω−p1)(jω−p2)jω−z1

表示为幅度（取对数）和相位：

20 log ⁡ 10 ∣ H ( j ω ) ∣ = 20 log ⁡ 10 ∣ j ω − z 1 ∣ ∣ j ω − p 1 ∣ ∣ j ω − p 2 ∣ 20\log_{10} |H(j\omega)| = 20\log_{10}\frac{| j\omega- z_1| }{| j\omega - p_1| |j\omega - p_2|} 20log10∣H(jω)∣=20log10∣jω−p1∣∣jω−p2∣∣jω−z1∣
∠ H ( j ω ) = e j ( α 1 − α 2 − α 3 ) \angle H(j\omega) = e^{j(\alpha1 - \alpha2 - \alpha3)} ∠H(jω)=ej(α1−α2−α3)

其中 α 1 , α 2 , α 3 \alpha1, \alpha2, \alpha3 α1,α2,α3 为图中向量的角度，由此便可以画出波特图。

下面以一个低通RC滤波器电路举例：

H ( j f ) = 1 1 + j 2 π f R C H(jf) = \frac{1}{1+j2\pi f R C} H(jf)=1+j2πfRC1
ω c = 1 R C \omega_\mathrm{c} = {1 \over {RC}} ωc=RC1
H ( j ω ) = 1 1 + j ω ω c H(j\omega) = {1 \over 1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}} H(jω)=1+jωcω1

画出波特图如下：

下面介绍如何得到上图。

增益图

A v d B = 20 log ⁡ ∣ H ( j ω ) ∣ = 20 log ⁡ 1 ∣ 1 + j ω ω c ∣ A_\mathrm{vdB} = 20 \log|H(j\omega)| = 20 \log {1 \over \left|1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}\right|} AvdB=20log∣H(jω)∣=20log∣ ∣1+jωcω∣ ∣1
= − 20 log ⁡ ∣ 1 + j ω ω c ∣ = − 10 log ⁡ [ 1 + ω 2 ω c 2 ] = - 20\log \left|1+j{\omega \over {{\omega_\mathrm{c}}}}\right| = -10\log{\left[1 + \frac{\omega^2}{\omega_\mathrm{c}^2}\right]} =−20log∣ ∣1+jωcω∣ ∣=−10log[1+ωc2ω2]

在角频率小于 ω c \omega_\mathrm{c} ωc 时，因 ω ω c {\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} ωcω 项较小，相对 1 而言可以忽略，因此其增益值为定值1，在增益图上是一条位在 0dB 的水平线
在角频率大于 ω c \omega_\mathrm{c} ωc 时，因 ω ω c {\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} ωcω 项较大，相对而言 1 可以忽略，因此式子简化为 $-20 \log {\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} $ , 是斜率为-20dB/十倍频的斜线
在角频率等于 ω c \omega_\mathrm{c} ωc 时， − 10 log ⁡ [ 1 + ω 2 ω c 2 ] = − 10 log ⁡ 2 = − 3 d B -10\log{\left[1 + \frac{\omega^2}{\omega_\mathrm{c}^2}\right]} = -10\log 2 = -3dB −10log[1+ωc2ω2]=−10log2=−3dB，因此该点为 -3dB 转折点

相位图

φ = − tan ⁡ − 1 ω ω c \varphi = -\tan^{-1}{\omega \over {\omega_\mathrm{c}}} φ=−tan−1ωcω

其中 $ \omega$ , ω c \omega_\mathrm{c} ωc 分别是输入角频率及截止角频率。当输入角频率远小于截止角频率时， ω ω c \frac{\omega}{\omega_c} ωcω比例的数值很小，因此相位角接近零度。
当频率增加，相位角的绝对值也随之增加。在时 ω = ω c \omega = \omega_c ω=ωc 时为-45度。
当输入角频率远大于截止角频率时，相位角会趋近-90度。

关于波特图一点说明

注意：通常我们说波特图中遇到一个极点幅度开始以20dB／十倍频的斜率下降，在极点处相移为-45度；零点则是幅度上升，相移45度。

有人会疑问零点、极点不应该使得传递函数为零或者无穷大吗？

其实从s平面那幅图可以看出，其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点。只有当零点或者极点真的出现在虚轴 j ω j\omega jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。

五、稳定性

巴克豪森判据：

对于一个负反馈系统：

Y X ( s ) = H ( s ) 1 + β H ( s ) \frac{Y}{X}(s) = \frac{H(s)}{1+\beta H(s)} XY(s)=1+βH(s)H(s)
如果 β H ( s ) = − 1 \beta H(s) = -1 βH(s)=−1 则增益为无穷，电路产生振荡，此条件可表达为：

∣ β H ( s ) ∣ ≥ 1 |\beta H(s)| \ge 1 ∣βH(s)∣≥1
∠ β H ( s ) = − 18 0 o \angle \beta H(s) = -180^{o} ∠βH(s)=−180o

上式可以理解为，输入信号经过正向通路以及反馈回路一圈之后相移360度（环路增益的180度以及负反馈叠加点的180度），使得负反馈变成正反馈。此时如果环路增益的幅度大于1，则在输入信号上不断叠加一个放大了的信号，一个发散的数列不断叠加必然是无界的。

因此，避免振荡的放法就是在环路增益相移180度时，保证其幅度小于1。（收敛序列求和是有界的）

上图中定义了“增益交点GX“、“相位交点PX“、“相位裕度PM“等概念。（注意上图为环路增益的波特图）

奈奎斯特判据

如果将波特图绘制到极坐标系中，可以得到奈奎斯特图：

图中红色的线为传递函数曲线，其与单位圆的交点为GX点，与实轴的另一交点为PX点，并且能直观地看出相位裕度，增益裕度。

另外如果-1这个点不被传递函数曲线包围，则系统是稳定的。

六、反馈、相位裕度、稳定性的关系

相位裕度

此处参照sansen书中方法

定义开环增益

A O = G A_O = G AO=G
闭环增益
A c = G 1 + G H ≈ 1 H A_c = \frac{G}{1+GH} \approx \frac{1}{H} Ac=1+GHG≈H1
所以
d B ( A O A c ) = d B ( A O ) − d B ( A c ) ≈ d B ( G H ) dB (\frac{A_O}{A_c} )= dB (A_O ) - dB(A_c) \approx dB(GH) dB(AcAO)=dB(AO)−dB(Ac)≈dB(GH)

图中 A O A_O AO 曲线与 A c A_c Ac 曲线差就是环路增益，因此两条曲线（实线）交点对应的频率，也即 A O / A c = 1 A_O/A_c = 1 AO/Ac=1，就是环路增益降到单位增益的频率。这个点就是增益交点，可以从这个点看相位裕度。

（思考的切入点：让两条曲线相交，其实在数学上是让两个函数相等）

GBW

上图定义出增益带宽积，在闭环增益（Y/X）图中，为主极点的下降曲线与横轴的交点出的频率（单位增益）。

20 log ⁡ A O − 10 log ⁡ ( 1 + ( ω ω m a j o r ) 2 ) = 0 20\log A_O - 10\log(1+(\frac{\omega}{\omega_{major}})^2) = 0 20logAO−10log(1+(ωmajorω)2)=0
得出
ω ≈ A O × ω m a j o r ≈ A c × ω c \omega \approx A_O \times \omega_{major} \approx A_c \times \omega_c ω≈AO×ωmajor≈Ac×ωc

注意：

GBW点其实是约等于的结果，但在对数图中可以看作不变。
另外，对于多极点系统，还是看第一个主极点延长线与实轴的交点，即 G B W = ω 1 ⋅ A O GBW = \omega_1 \cdot A_O GBW=ω1⋅AO。
反馈系数改变，闭环增益相位曲线 ∠ Y X ( j ω ) \angle \frac{Y}{X}(j\omega) ∠XY(jω) 是会改变的；而环路增益相位曲线 ∠ β H ( j ω ) \angle \beta H(j\omega) ∠βH(jω) 不变。
sansen书中看闭环增益转折点求PM，其实它对应的是开环增益的相位图，如下图，所以不要被迷惑。之所以这样，是因为双极点系统，总相移肯定是180度。

而180度相移点是第二个极点再往右，若f2出现在GBW点右侧，则系统相对比较稳定。

相位裕度、极点位置、尖峰相互关系

环路增益越大（图中两条曲线相差越宽），PM越小。当PM很小的时候，闭环增益曲线就会产生尖峰。

开环增益

H ( j ω ) = A O ( 1 + j ω ω 1 ) ( 1 + j ω ω 2 ) H(j\omega) = \frac{A_O}{(1+j\frac{\omega}{\omega_1})(1+j\frac{\omega}{\omega_2})} H(jω)=(1+jω1ω)(1+jω2ω)AO
闭环增益
Y X = H 1 + β H = A O β A O + j ω ( 1 ω 1 + 1 ω 2 ) + ( j ω ) 2 ω 1 ω 2 \frac{Y}{X} = \frac{H}{1+\beta H} = \frac{A_O}{\beta A_O + j\omega({1 \over \omega_1} + {1 \over \omega_2}) +\frac{(j\omega)^2}{\omega_1 \omega_2} } XY=1+βHH=βAO+jω(ω11+ω21)+ω1ω2(jω)2AO

因为 A O × ω 1 = G B W A_O \times \omega_1 = GBW AO×ω1=GBW, 所以
Y X ≈ 1 1 + j ω β G B W + ( j ω ) 2 β G B W f 2 \frac{Y}{X} \approx \frac{1}{1+ \frac{j\omega}{\beta GBW} +\frac{(j\omega)^2}{ \beta GBW f_2}} XY≈1+βGBWjω+βGBWf2(jω)21
= 1 1 + 2 ζ ω n j ω + ( j ω ) 2 ( ω n ) 2 =\frac{1}{1+2\frac{\zeta}{\omega_n}j\omega + \frac{(j\omega)^2}{(\omega_n)^2}} =1+2ωnζjω+(ωn)2(jω)21

其中 ζ \zeta ζ 为阻尼因子， ω n \omega_n ωn 为谐振频率。

PM的求解需要解释一下：

因为 P M = 18 0 o + ∠ H ( G X ) PM = 180^o + \angle H(GX) PM=180o+∠H(GX)，而对于双极点系统，有

∠ ω = e − j ( arctan ⁡ ω ω 1 + arctan ⁡ ω ω 2 ) \angle \omega = e^{-j(\arctan \frac{\omega}{\omega_1} + \arctan \frac{\omega}{\omega_2})} ∠ω=e−j(arctanω1ω+arctanω2ω)

而对于 ω = G X \omega = GX ω=GX 这个点，因为 G X > > ω 1 GX >>\omega_1 GX>>ω1 所以第一级已经达到90度相移。另外

G X = ω 1 ( 1 + β A O ) ≈ β ω 1 A O = β ⋅ G B W GX = \omega_1(1+\beta A_O) \approx \beta \omega_1 A_O = \beta \cdot GBW GX=ω1(1+βAO)≈βω1AO=β⋅GBW
所以

P M = 18 0 o − 9 0 o − arctan ⁡ G X ω 2 = 9 0 o − arctan ⁡ β ⋅ G B W ω 2 PM = 180^o-90^o - \arctan \frac{GX}{\omega_2} = 90^o - \arctan \frac{\beta \cdot GBW}{\omega_2} PM=180o−90o−arctanω2GX=90o−arctanω2β⋅GBW

可得

ω n = G B W ⋅ ω 2 ⋅ β \omega_n = \sqrt{GBW \cdot \omega_2 \cdot \beta} ωn=GBW⋅ω2⋅β
ζ = 1 2 ω 2 G B W ⋅ β \zeta = {1 \over 2} \sqrt{\frac{\omega_2}{GBW \cdot \beta}} ζ=21GBW⋅βω2
P M = 9 0 o − arctan ⁡ β ⋅ G B W ω 2 PM = 90^o - \arctan \frac{\beta \cdot GBW}{\omega_2} PM=90o−arctanω2β⋅GBW

结论

由信号系统知识可知：

ζ > 1 \zeta >1 ζ>1，二阶系统为两个实数极点，其实是两个一阶系统相乘；对应情况为第二个极点 ω 2 \omega_2 ω2 非常远（比如3GBW处，此时相位裕度60度～70度）；
0 < ζ < 1 0<\zeta<1 0<ζ<1，两个共轭极点，为一个谐振系统；在闭环传输函数转折点出现尖峰。
第二个极点越近（ ω 2 \omega_2 ω2 越小），相位裕度越小， ζ \zeta ζ 越小，尖峰越高，越不稳定！

有激励的输入响应

如图，输入信号为
1 s − j ω \frac{1}{s-j\omega} s−jω1

电路的传递函数为
H ( s ) = 1 s R C + 1 H(s) = \frac{1}{sRC + 1} H(s)=sRC+11

所以输出信号(s域)为
V o u t ( s ) = 1 s R C + 1 ⋅ 1 s − j ω V_{out}(s) = \frac{1}{sRC + 1} \cdot \frac{1}{s-j\omega} Vout(s)=sRC+11⋅s−jω1
= A s − j ω + B s R C + 1 =\frac{A}{s-j\omega} + \frac{B}{sRC+1} =s−jωA+sRC+1B

其中
A = 1 j ω R C + 1 ↔ 1 ( ω R C ) 2 + 1 ⋅ e j ( − α ) A=\frac{1}{j\omega RC +1} \leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}} \cdot e^{j( - \alpha)} A=jωRC+11↔(ωRC)2+1 1⋅ej(−α)
B = − R C j ω R C + 1 ↔ R C ( ω R C ) 2 + 1 ⋅ e − j α B=\frac{-RC}{j\omega RC +1} \leftrightarrow \frac{RC}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}} \cdot e^{-j\alpha} B=jωRC+1−RC↔(ωRC)2+1 RC⋅e−jα
1 s − j ω ↔ e j ω t \frac{1}{s-j\omega} \leftrightarrow e^{j\omega t} s−jω1↔ejωt
1 s R C + 1 ↔ e − t R C \frac{1}{sRC+1} \leftrightarrow e^{-\frac{t}{RC}} sRC+11↔e−RCt

所以输出信号时域为
V o u t ( t ) = 1 ( ω R C ) 2 + 1 ⋅ e j ( ω t − α ) − R C ( ω R C ) 2 + 1 ⋅ e − t R C ⋅ e − j α V_{out}(t) = \frac{1}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}} \cdot e^{j(\omega t - \alpha)} - \frac{RC}{\sqrt{(\omega RC)^2 +1}} \cdot e^{-\frac{t}{RC}} \cdot e^{-j\alpha} Vout(t)=(ωRC)2+1 1⋅ej(ωt−α)−(ωRC)2+1 RC⋅e−RCt⋅e−jα
其中
tan ⁡ α = ω R C \tan \alpha = \omega RC tanα=ωRC

上式中，第一项为稳态响应，第二项是一个随时间衰减的量。这就解释了为什么我们要求系统的极点要在s平面的左半平面，这样系统才不会发散。

更新日志

2017年2月11日

来自eetop网友的两个问题补充。

问题原文：

楼主的文章仔细看过，写的很好，特来学习，有2个问题向楼主请教下:

其实我们所谓的在波特图中遇到的零点极点，并不是s平面中由传递函数公式求解出的零点极点，这个很难理解
只有当零点或者极点真的出现在虚轴 jω 上时，该频率的输入才会导致零输出或者无穷大输出。比如一对虚轴上的共轭极点，计算确实使输出无穷大，但在时域上，对应的却是一个固定幅度的正弦波，并没有振荡啊，这怎么理解呢？

问题解释：

问题一我觉得是因为术语的定义给人们带来了误解。

我们在信号系统还有控制理论中学过的零极点，就是系统拉普拉斯变换后传输函数的分子分母解出来的根，这个根（零点极点）可以是整个s平面上任意一个点。但是很多书中讲传输函数，波特图时候并没有把这个零点，极点的概念讲清楚。
其实我们说系统遇到一个极点，波特图开始一个20dB／10倍频的下降，很多人下意识地认为波特图横坐标对应的那个频率值就是这个极点，这是错误的，这里应该是有一个s平面到bode图的映射的。
问题二是正弦函数拉普拉斯变化引入的数学问题，正弦函数傅立叶变换本来就是两个冲击函数，反过来虚轴上两个共轭极点的逆变换是稳态的正弦波也就不足为奇。

这个可以参考知乎上这个解答如何理解正弦函数的傅立叶变换？

而且两个共轭极点构成一个二阶系统，二阶系统与一阶系统的分析方法有所不同。更高阶的系统最低能分解为多个一阶与二阶系统来分析。

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