概述

Nim游戏是一种经典的博弈论模型。需要熟练掌握和运用。

Nim

模型

Nim游戏是指这样一种游戏：

有若干堆石子，两个玩家轮流进行操作。两个玩家公平操作，每次操作可以从任意一堆里取出任意个，但是不可以不取。当一个玩家无法进行操作时他输掉游戏。

结论

设每堆石子的个数分别为 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn，设 X = x 1 X o r x 2 X o r . . . X o r x n X=x_1\;Xor\;x_2\;Xor\;...\;Xor\;x_n X=x1Xorx2Xor...Xorxn，则若 X > 0 X>0 X>0则先手必胜， X = 0 X=0 X=0则后手必胜。其中 X o r Xor Xor是异或运算。

证明

游戏中有这两种状态：

异或和为0
异或和大于0

首先，一颗石子都没有是必败态，包含在状态1中。

假如现在处于状态1，要么当前玩家已经输掉比赛，要么他做任意操作使得状态1变为状态2。

考虑对于一个状态2，我们必然可以有一种取法，使得状态2变为状态1。取法如下：假设当前异或和为 X = x 1 X o r x 2 X o r . . . X o r x n X=x_1\;Xor\;x_2\;Xor\;...\;Xor\;x_n X=x1Xorx2Xor...Xorxn对于 X X X在二进制下的最高位 k k k，必然至少有一个 x i x_i xi这一位是1（反证法）。把 x i x_i xi减小的过程可以看作先去掉 x i x_i xi再加入一个 x n e w x_{new} xnew，即原式变为 X X o r x i X o r x n e w = x 1 X o r x 2 X o r . . . X o r ( x i X o r x i ) X o r x n e w X o r . . . X o r x n X\;Xor\;x_i\;Xor\;x_{new}=x_1\;Xor\;x_2\;Xor\;...\;Xor\;(x_i\;Xor\;x_i)\;Xor\;x_{new}\;Xor\;...\;Xor\;x_n XXorxiXorxnew=x1Xorx2Xor...Xor(xiXorxi)XorxnewXor...Xorxn

因为要使 X X o r x i X o r x n e w = 0 X\;Xor\;x_i\;Xor\;x_{new}=0 XXorxiXorxnew=0即 X X o r x i = x n e w X\;Xor\;x_i=x_{new} XXorxi=xnew， x n e w x_{new} xnew在二进制下高于 k k k的位上和 x i x_i xi相等，在第 k k k位上 x i x_i xi是1而 x n e w x_{new} xnew是0，所以 x n e w < x i x_{new}<x_i xnew<xi，取法可行。

由上可知，先手假如处在状态2，那么他只要每次都把状态2变成状态1，就可以必胜。反之，要是先手处在状态1，那他的对手每次也都可以经过操作再次让他处在状态1，所以必败。

anti-Nim

模型

操作和Nim游戏一样，唯一不同的地方是无法操作的人赢。

结论

先手必胜，当且仅当：

所有堆的石子数都为1，并且每堆的石子数异或和为0（偶数堆）
至少有1堆的石子数大于1，并且每堆的石子数异或和大于0。

证明

对于第一种情形，显然，每次一个人只能取掉一堆，那么堆数为偶数时对手就是取最后一颗石子的人，先手就赢了。

对于第二种，分为两种情况：

第一种，只有一堆石子数大于1，此时异或和必然大于0。考虑对这堆数量大于1的石子操作。假如剩下的只有1个的堆有奇数个，先手就取完这堆，剩下奇数个只有一堆的石子，留给对手的就是必败态了。假如剩下的只有1个的堆有偶数个，先手就把数量大于1的那堆取到只剩一个，留给对手的同样是必败态。所以这种状态必胜。

第二种，有至少两堆的石子数大于1。

设此时异或和为0的状态为“状态1”，大于0为“状态2”。

对于状态2，根据Nim游戏的证明，我们必然有一种取法使得取完之后异或和为0。然后稍微证明一下这样取只可能将状态2转移到状态1而不可能是其他情况：因为最多只能取完一堆，所以剩余的石子数大于1的堆至少有1堆，并且又因为只有1堆石子数量大于1的时候（即第一种情况）异或和为不可能为0，所以用这种方法取我们一定可以把状态2转换为状态1。

对于状态1，不管如何取，异或和必然大于0，所以留给对手的状态必然是状态2或者只有一堆石子数量大于1的状态。因为只有一堆石子数量大于1是对手的必胜态，而假如转移到状态2的话对手还可以将状态变回状态1，所以处在状态1的人必将留给对手只有1堆石子数大于1的情况。所以状态1是必败态。从而，状态2是必胜态。

证毕。

运用

任何一种游戏可以将状态看做点，转移看做边，而整个游戏就是一张图。一个状态的 S G SG SG函数是他的出边连向的所有状态的 S G SG SG值组成的集合的 m e x mex mex。感性理解就是一个状态的 S G ( u ) SG(u) SG(u)值为 x x x，那么他能经过一步转移达到一个 S G ( v ) ∈ [ 0 , x − 1 ] SG(v)\in[0,x-1] SG(v)∈[0,x−1]。

那么我们就能利用Nim游戏或者anti-Nim游戏的结论合并多个并列的游戏了。因为一个游戏的初始状态 S G SG SG值为 x x x，相当于一个石子数量为 x x x的堆。

正因为其与 S G SG SG函数的结合，所以Nim和anti-Nim的应用非常广泛。

后记

在此收藏一位大佬的博客，写的非常全面，还有其他各种博弈。clover_hxy

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Nim和anti-Nim

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Nim

模型

结论

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anti-Nim

模型

结论

证明

运用

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