自适应控制笔记-Persistent Excitation持续激励（1）

LS-最小二乘

RLS-递推最小二乘

FIR-有限脉冲响应模型

首先考虑激励，在最初的LS定义中，使最小二乘误差最小的参数 $\hat{\theta}$ 满足 $\Phi ^{T}\Phi \hat{\theta} = \Phi ^{T}Y$ ,如果矩阵 $\Phi ^{T}\Phi$ 非奇，则误差最小值唯一，由 $\hat{\theta} = (\Phi ^{T}\Phi)^{-1}\Phi ^{T}Y$ 给定。而矩阵 $\Phi ^{T}\Phi$ 可逆的条件成为激励条件。

以FIR为例，FIR模型的一般形式为 $y(t)=\varphi^{T}(t-1)\theta$ ，其中 $\varphi^{T}(t-1)=[u(t-1)...u(t-n)]$ ， $\Phi$ 在此时就是输入信号组成的矩阵。根据LS中定义的激励条件，令 $\Phi ^{T}\Phi$ 在FIR中非奇 == 激励条件是对输入信号的限制，目的是确定模型参数。

加入激励条件是如何确定模型参数呢？

从不能确定参数的情况来分析。考虑，在RLS中（假设无噪音-即参数非时变，无计算误差），如果have insufficient excitation，即矩阵 $\Phi ^{T}\Phi$ 的秩<=0，此时能否保证最小二乘误差的最小值 $\Delta\theta_{\infty }$ 收敛至 0 附近？

根据RLS的定义

$P(t)=(\Phi^{T}\Phi)^{-1}$

对上式取极限，

最终t无穷大时，参数非时变，则 $\hat{\theta}(t)-\hat{\theta}(t-1)$ 接近0，又，在RLS中P>0,

代入，可得，以n=2为例，

此时，可得

可以看出无论预估的参数 $\hat{\theta_{2}}(\infty )$ 的值是多少，该式都成立，即无法保证估计的参数有唯一解。

Reference

B. Pasik-Duncan, "Adaptive Control [Second edition, by Karl J. Astrom and Bjorn Wittenmark, Addison Wesley (1995)],"

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