数论-欧几里得最大公约数- same gcd

same gcd

题解

题意

给定a,b，问有多少个x(0<=x<b)满足gcd(a,b)=gcd(a+x,b)

思路

d = g c d ( a , b ) = g c d ( a + x , b ) → 1 = g c d ( a + x d , b d ) d=gcd(a,b)=gcd(a+x,b)\to 1=gcd(\frac{a+x}{d},\frac{b}{d}) d=gcd(a,b)=gcd(a+x,b)→1=gcd(da+x,db)

a + x d ∈ [ a d , a d + b d ) \frac{a+x}{d}\in[\frac{a}{d},\frac{a}{d}+\frac{b}{d}) da+x∈[da,da+db)

题目转化成，求在上述范围内与b/d互质的个数，进而转化成求b/d的欧拉函数
e u l e r s [ 1 , b d ) ≡ e u l e r s [ a d , a d + b d ) eulers[1,\frac{b}{d})\equiv eulers[\frac{a}{d},\frac{a}{d}+\frac{b}{d}) eulers[1,db)≡eulers[da,da+db)

代码

#include <iostream>using namespace std;
typedef long long LL;LL gcd(LL a, LL b)  // 欧几里得算法
{return b ? gcd(b, a % b) : a;
}LL phi(LL x){LL res=x;for(int i=2;i<=x/i;i++){if(x%i==0)res=res/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}if(x!=1)res=res/x*(x-1);return res;
}int main()
{int t;cin>>t;while(t--){LL a,b;//注意数据范围cin>>a>>b;cout<<phi(b/gcd(a,b))<<'\n';//题目分析转换完之后，代码实现其实就是copy模版}return 0;
}

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