本篇文章使用经典的串级 PI 控制器控制永磁无刷电机的电流环和速度环，讨论了系统的建模和控制器的参数整定。

一. 电流环设计

电机电流环传递函数如下：

电机的传递函数为 1/(R+Ls)1/(R+Ls)1/(R+Ls)，RRR 和 LLL 分别为电机的相电阻和相电感。使用一阶低通滤波器对反馈电流进行滤波，其传递函数为 1/(1+Tfs)1/(1+T_fs)1/(1+Tfs)，其中 TfT_fTf 为滤波器的时间常数。采用 PI 控制器进行控制，串联型 PI 控制器的传递函数为 Kp(Ki+s)/sK_p(K_i+s)/sKp(Ki+s)/s，并联型 PI 控制器的传递函数为 (Kps+Ki)/s(K_ps+K_i)/s(Kps+Ki)/s，本文为方便进行零点配置，推导时使用的是串联型的 PI 控制器，但在最后也会给出并联型 PI 控制器参数的推导公式。逆变器的传递函数为一个延时环节，对于7段式 SVPWM 调制来说，其延时 TpT_pTp 等于 Td/2T_d/2Td/2（在有些设计中按最大延时考虑，即 TdT_dTd ），TdT_dTd 为电流环的一个计算周期。同时，考虑到控制器是离散的，整个回路中还有 TdT_dTd 的延时。

在框图中，我们没有考虑反电动势的影响，因为对电流环来说，反电动势是一个慢变的扰动，只要电流环的带宽足够大，就可以忽略反电动势项的影响。忽略反电动势影响的条件如下，其中，wbw_bwb 为电流环的闭环带宽，TeT_eTe 为电机的电磁时间常数，TmT_mTm 为电机的机电时间常数，详细推导见第三节。
wb≥31TeTmw_b \ge 3\sqrt{\frac{1}{T_eT_m}} wb≥3TeTm1
若电流环的带宽不满足近似条件，或对电流环实际带宽有严格的要求，则可以引入前馈控制来补偿反电动势带来的扰动，我们在计算控制器参数的时候同样可以忽略反电动势。

反馈通路上的一阶低通滤波器在抑制噪声的同时，也会带来延时，为了平衡这个延时作用，在输入信号通道上加入一个时间常数相同的惯性环节，称作配合滤波环节，从而使滤波器可以从反馈通路移动到前向通道中，带来设计上的方便，如下图所示：

延时环节 e−Tdse^{-T_ds}e−Tds 和 e−Tpse^{-T_ps}e−Tps 不利于设计与分析，故使用泰勒展开将其近似为一个一阶惯性环节：

e−Tds=1eTds≈11+Tdse^{-T_ds}=\frac{1}{e^{T_ds}}\approx \frac{1}{1+T_ds} e−Tds=eTds1≈1+Tds1

方框图可以简化如下：

可以看出，传递函数中有多个高频段的小惯性环节，系统的阶次很高，故首先要进行降阶处理。完整的证明见第三节，下面只给出结论。
G(s)=1(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)G\left( s \right) =\frac{1}{\left( 1+T_ds \right) \left( 1+T_ps \right) \left( 1+T_fs \right)} G(s)=(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)1
wbw_bwb 为电流环的带宽，当其满足如下条件时：
wb≤131TdTf+TdTp+TfTpw_b \le \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p}} wb≤31TdTf+TdTp+TfTp1
G(s)G(s)G(s) 可以近似为：
G(s)≈11+(Td+Tp+Tf)s=11+TsG\left( s \right) \approx \frac{1}{1+\left( T_d+T_p+T_f \right) s} = \frac{1}{1+Ts} G(s)≈1+(Td+Tp+Tf)s1=1+Ts1
故方框图可以简化为：

其中，总延时 T=Td+Tp+Tf=Tf+3/2∗TdT=T_d+T_p+T_f = T_f+3/2*T_dT=Td+Tp+Tf=Tf+3/2∗Td，系统的开环传递函数如下：
Gopencrt(s)=Y(s)R(s)=Kpcrt(Kicrt+s)s∗11+Ts∗1R+LsG_{open}^{crt}\left( s \right) =\frac{Y\left( s \right)}{R\left( s \right)}=\frac{K_{p}^{crt}(K_{i}^{crt}+s)}{s}*\frac{1}{1+Ts}*\frac{1}{R+Ls} Gopencrt(s)=R(s)Y(s)=sKpcrt(Kicrt+s)∗1+Ts1∗R+Ls1
配置 KiK_iKi，使得零极点对消：
Kicrt=RLGopencrt(s)=Kpcrts∗11+Ts∗1LK_{i}^{crt}=\frac{R}{L} \\ G_{open}^{crt}\left( s \right) =\frac{K_{p}^{crt}}{s}*\frac{1}{1+Ts}*\frac{1}{L} Kicrt=LRGopencrt(s)=sKpcrt∗1+Ts1∗L1
计算闭环传递函数：
Gclosecrt(s)=Gopencrt(s)1+Gopencrt(s)=KpcrtLTs2+Ls+Kpcrt=KpcrtLTs2+1Ts+KpcrtLTG_{close}^{crt}\left( s \right) =\frac{G_{open}^{crt}\left( s \right)}{1+G_{open}^{crt}\left( s \right)}=\frac{K_{p}^{crt}}{LTs^2+Ls+K_{p}^{crt}}\,\,=\,\,\frac{\frac{K_{p}^{crt}}{LT}}{s^2+\frac{1}{T}s+\frac{K_{p}^{crt}}{LT}} Gclosecrt(s)=1+Gopencrt(s)Gopencrt(s)=LTs2+Ls+KpcrtKpcrt=s2+T1s+LTKpcrtLTKpcrt
可以看出，系统是一个二阶震荡系统，该系统的无阻尼振荡频率和阻尼比如下：
wn=KpcrtLT,ξ=12LT∗Kpcrtw_n=\sqrt{\frac{K_{p}^{crt}}{LT}}, \,\, \xi=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{T*K_{p}^{crt}}} wn=LTKpcrt,ξ=21T∗KpcrtL
选取最佳工程阻尼比，令 ξ=2/2\xi = \sqrt2/2ξ=2/2，有：
T=L2Kpcrtwn=KpcrtLT=2KpcrtLT=\frac{L}{2K_{p}^{crt}} \\ w_n=\sqrt{\frac{K_{p}^{crt}}{LT}}=\frac{\sqrt{2}K_{p}^{crt}}{L} T=2KpcrtLwn=LTKpcrt=L2Kpcrt
此时 wnw_nwn 与闭环带宽 wbw_bwb 相等，证明如下：
Gclosecrt(s)=wn2s2+2wns+wn2∣Gclosecrt(jwn)∣=∣wn2−wn2+2wn2j+wn2∣=22=∣Gclosecrt(jwb)∣wn=wbG_{close}^{crt}\left( s \right) =\,\,\frac{{w_n}^2}{s^2+\sqrt{2}w_ns+{w_n}^2} \\ \left| G_{close}^{crt}\left( jw_n \right) \right|=\left| \frac{{w_n}^2}{-w_{n}^{2}+\sqrt{2}{w_n}^2j+{w_n}^2} \right|=\frac{\sqrt{2}}{2} = \left| G_{close}^{crt}\left( jw_b \right) \right| \\ w_n=w_b Gclosecrt(s)=s2+2wns+wn2wn2∣∣Gclosecrt(jwn)∣∣=∣∣−wn2+2wn2j+wn2wn2∣∣=22=∣∣Gclosecrt(jwb)∣∣wn=wb
故有：
Kpcrt=22LwbT=L2Kpcrt=12wb=Tf+32Tdwf=1Tf=112wb−32TdK_{p}^{crt}=\frac{\sqrt{2}}{2}Lw_b \\ T=\frac{L}{2K_{p}^{crt}}=\frac{1}{\sqrt{2}w_b}=T_f+\frac{3}{2}T_d \\ w_f=\frac{1}{T_f}=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}w_b}-\frac{3}{2}T_d} Kpcrt=22LwbT=2KpcrtL=2wb1=Tf+23Tdwf=Tf1=2wb1−23Td1
现在串联 PI 控制器的参数 Kpcrt,KicrtK_{p}^{crt}, K_{i}^{crt}Kpcrt,Kicrt 以及低通滤波器的截止频率 wfw_fwf 都可以用电流环带宽 wbw_bwb 进行表示，在实际调试过程中，我们只需要合理设置 wbw_bwb 的值即可。

因为 wb=1/(2T)w_b = 1 / (\sqrt{2}T)wb=1/(2T)，故电流环的带宽受到系统中总延时的限制，当 TfT_fTf 等于 0，即不存在转速滤波环节时，电流环理论带宽最大。此时有：
wbmax=232Tdw_{bmax} = \frac{2}{3\sqrt{2}T_d} wbmax=32Td2
系统降阶时需要满足条件：
wb≤131TdTp=132Td2=23Tdw_b\le \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{T_dT_p}}=\frac{1}{3}\sqrt{\frac{2}{{T_d}^2}}\,\,=\,\,\frac{\sqrt{2}}{3T_d} wb≤31TdTp1=31Td22=3Td2
此时恰好满足该条件，故任意的 wbw_bwb 均满足该简化条件。实际上，由于做了很多工程近似，上述证明并不严谨，只是可以说明在合理的范围内选择电流环带宽，系统都有比较好的近似效果，最后的实际带宽和理论带宽不会差距过大。

若使用并联 PI 控制器，则参数如下：
∗Kicrt=22Rwb∗Kpcrt=22Lwb^*K_{i}^{crt}=\frac{\sqrt{2}}{2}Rw_b \\ ^*K_{p}^{crt}=\frac{\sqrt{2}}{2}Lw_b ∗Kicrt=22Rwb∗Kpcrt=22Lwb

二. 速度环设计

电流环的闭环传递函数为：
Gclosecrt(s)=wb2s2+2wbs+wb2G_{close}^{crt}\left( s \right) =\,\,\frac{{w_b}^2}{s^2+\sqrt{2}w_bs+{w_b}^2} Gclosecrt(s)=s2+2wbs+wb2wb2
在分析速度环时，首先要对电流环的闭环传递函数进行简化，推导见第三节。当 wbcrt>3wbspdw_{b}^{crt}>3w_{b}^{spd}wbcrt>3wbspd 时，有：
Gclosecrt(s)=11+2wbsG_{close}^{crt}\left( s \right) =\frac{1}{1+\frac{\sqrt{2}}{w_b}s} Gclosecrt(s)=1+wb2s1

KtK_tKt 为电机的转矩系数，JJJ 为总转动惯量，同样使用一个串联的 PI 控制器进行控制，这样系统在扰动 D(s)D(s)D(s) 的作用点之前有一个积分环节，可以实现转速无静差，整个系统是一个二型系统。

在这里我们没有考虑粘性阻尼和速度环的滤波环节，也没有考虑数字控制器造成的延时，一方面是因为如果都考虑，会显著增加系统设计时的复杂度；另一方面是因为速度环的带宽比较小，不精确设计带来的误差较小，也可以理解为抗扰能力较强。

我们在这里把所有未建模的动态视为扰动，只要保证控制器有一定的鲁棒性和抗扰能力即可，在 TI 的手册中有对滤波环节和粘性阻尼未建模的影响进行分析。

速度环开环传递函数如下：
Gopenspd(s)=Kpspd(Kispd+s)s∗Gclosecrt(s)∗KeJs=KeKpspd(Kispd+s)Js2(1+2wbcrts)G_{open}^{spd}\left( s \right) =\frac{K_{p}^{spd}(K_{i}^{spd}+s)}{s}*G_{close}^{crt}\left( s \right) *\frac{K_e}{Js}=\frac{K_eK_{p}^{spd}(K_{i}^{spd}+s)}{Js^2\left( 1+\frac{\sqrt{2}}{w_{b}^{crt}}s \right)} Gopenspd(s)=sKpspd(Kispd+s)∗Gclosecrt(s)∗JsKe=Js2(1+wbcrt2s)KeKpspd(Kispd+s)
这是一个典型二型系统，我们按照最大相角裕度的方式进行零极点配置，证明见第三节：
wpole=wbcrt2wzero=Kispdwpole=δwc=δ2wzerow_{pole}=\frac{w_{b}^{crt}}{\sqrt{2}}\,\, w_{zero}=K_{i}^{spd} \\ w_{pole}=\delta w_c=\delta ^2w_{zero} wpole=2wbcrtwzero=Kispdwpole=δwc=δ2wzero
传递函数变为：
Gopenspd(s)=KeKpspd(1δwc+s)Js2(1+1δwcs)G_{open}^{spd}\left( s \right) =\frac{K_eK_{p}^{spd}(\frac{1}{\delta}w_c+s)}{Js^2\left( 1+\frac{1}{\delta w_c}s \right)} Gopenspd(s)=Js2(1+δwc1s)KeKpspd(δ1wc+s)
我们在速度环中使用开环剪切频率 wcw_cwc 表示 KpspdK_{p}^{spd}Kpspd 和 KispdK_{i}^{spd}Kispd，根据前面的表达式，可以解出 KispdK_{i}^{spd}Kispd：
δ=wpolewzero=wbcrt2Kispdδ=wpolewc=wcwzerowc2=wpolewzero=wbcrtKispd2Kispd=2wc2wbcrt\delta =\sqrt{\frac{w_{pole}}{w_{zero}}}=\sqrt{\begin{array}{l} \frac{w_{b}^{crt}}{\sqrt{2}K_{i}^{spd}}\\ \end{array}} \\ \delta =\frac{w_{pole}}{w_c}=\frac{w_c}{w_{zero}} \\ w_{c}^{2}=w_{pole}w_{zero}=\frac{w_{b}^{crt}K_{i}^{spd}}{\sqrt{2}} \\ K_{i}^{spd}=\frac{\sqrt{2}{w_c}^2}{w_{b}^{crt}} δ=wzerowpole=2Kispdwbcrtδ=wcwpole=wzerowcwc2=wpolewzero=2wbcrtKispdKispd=wbcrt2wc2
根据剪切频率的定义，有：
∣Gopenspd(jwc)∣=∣KeKpspd(1δwc+jwc)−Jwc2(1+1δwcwcj)∣=1\left| G_{open}^{spd}\left( jw_c \right) \right|=\left| \frac{K_eK_{p}^{spd}(\frac{1}{\delta}w_c+jw_c)}{-{Jw_c}^2\left( 1+\frac{1}{\delta w_c}w_cj \right)} \right|=1 ∣∣Gopenspd(jwc)∣∣=∣∣−Jwc2(1+δwc1wcj)KeKpspd(δ1wc+jwc)∣∣=1
可以解得：
Kpspd=JwcKeK_{p}^{spd}=\frac{Jw_c}{K_e} Kpspd=KeJwc
故我们可以将速度环 PI 控制器的参数 Kpspd,KispdK_{p}^{spd}, K_{i}^{spd}Kpspd,Kispd 用速度环开环剪切频率 wcw_cwc 表示，与电流环相同，我们只需要根据实际情况调节 wcw_cwc 即可。
对电流环闭环传递函数降阶的时候，需要满足 wbcrt>3wbspdw_{b}^{crt}>3w_{b}^{spd}wbcrt>3wbspd 的条件，一般有 wc≤wb≤2wcw_c \le w_b \le 2w_cwc≤wb≤2wc，故在调节 wcw_cwc 时，需要满足 wc<6wbcrtw_c < 6w_{b}^{crt}wc<6wbcrt。

若使用并联 PI 控制器，则参数如下：
∗Kispd=2Jwc3Kewbcrt∗Kpspd=JwcKe^*K_{i}^{spd}=\frac{\sqrt{2}J{w_c}^3}{K_ew_{b}^{crt}} \\ ^*K_{p}^{spd}=\frac{Jw_c}{K_e} ∗Kispd=Kewbcrt2Jwc3∗Kpspd=KeJwc

三. 公式补充推导

1. 电流环忽略反电动势的条件

首先我们先推导一下电磁时间常数 TeT_eTe 和机电时间常数 TmT_mTm 的表达式。

R(s)R(s)R(s) 为输入电压，Y(s)Y(s)Y(s) 为电机的输出转速。电机绕组的传递函数为一个一阶惯性环节，电磁时间常数 TeT_eTe 为该惯性环节的时间常数，即给定电压，电流经过一个 TeT_eTe 时间后，会达到最终电流的 63.2%。重写绕组的传递函数为：
G(s)=1R+Ls=1/R1+TesG\left( s \right) =\frac{1}{R+Ls}=\frac{1/R}{1+T_es} G(s)=R+Ls1=1+Tes1/R
忽略干扰 D(s)D(s)D(s)，考虑反电动势的影响，系统的闭环传递函数为：
G(s)=R(s)Y(s)=1/R1+TesKtJs1+1/R1+TesKtKeJs=1/KeTeJRKeKts2+JRKeKts+1G\left( s \right) =\frac{R\left( s \right)}{Y\left( s \right)}=\frac{\frac{1/R}{1+T_es}\frac{K_t}{Js}}{1+\frac{1/R}{1+T_es}\frac{K_tK_e}{Js}}=\frac{1/K_e}{\frac{T_eJR}{K_eK_t}s^2+\frac{JR}{K_eK_t}s+1} G(s)=Y(s)R(s)=1+1+Tes1/RJsKtKe1+Tes1/RJsKt=KeKtTeJRs2+KeKtJRs+11/Ke
令机电常数 TmT_mTm 为：
Tm=JRKeKtT_m=\frac{JR}{K_eK_t} Tm=KeKtJR
则有：
G(s)=1/KeTeTms2+Tms+1G\left( s \right) =\frac{1/K_e}{T_eT_ms^2+T_ms+1} G(s)=TeTms2+Tms+11/Ke
一般情况下有 Tm>10TeT_m > 10T_eTm>10Te，故认为 Tm+Te≈TmT_m+T_e\approx T_mTm+Te≈Tm，所以有：
G(s)=1/Ke(Tms+1)(Tes+1)G\left( s \right) =\frac{1/K_e}{\left( T_ms+1 \right) \left( T_es+1 \right)} G(s)=(Tms+1)(Tes+1)1/Ke
1/Te1/T_e1/Te 一般远远超过控制系统的通频带，即 wb≪1/Tew_b \ll 1/T_ewb≪1/Te，故可以再次进行近似（这里也可以利用下面高阶系统降阶的方法分析一下近似条件）：
G(s)=1/KeTm+1G\left( s \right) =\frac{1/K_e}{T_m+1} G(s)=Tm+11/Ke
电机电压和转速之间的传递函数可以近似为一个一节惯性环节，TmT_mTm 是该惯性环节的时间常数，它表示给定一个电压，电机加速到对应转速所需要的时间。

下面我们用 TmT_mTm 和 TeT_eTe 重新画一下系统的方框图：

R(s)R(s)R(s) 为电机的输入电压，Y(s)Y(s)Y(s) 为流过电机绕组的电流。若不考虑反电动势的影响，则其传递函数为：
G0(s)=Y(s)R(s)=1Ls+R=1/R1+TesG_0\left( s \right) =\frac{Y\left( s \right)}{R\left( s \right)}=\frac{1}{Ls+R}=\frac{1/R}{1+T_es} G0(s)=R(s)Y(s)=Ls+R1=1+Tes1/R
考虑反电动势的影响，则传递函数为：
G(s)=G0(s)1+G0(s)H(s)=1/RTes+1+1TmsG(jw)=1/RTewj−1Tmwj+1G\left( s \right) =\frac{G_0\left( s \right)}{1+G_0\left( s \right) H\left( s \right)}=\frac{1/R}{T_es+1+\frac{1}{T_ms}} \\ G\left( jw \right) =\frac{1/R}{T_ewj-\frac{1}{T_mw}j+1} G(s)=1+G0(s)H(s)G0(s)=Tes+1+Tms11/RG(jw)=Tewj−Tmw1j+11/R
当 Tew≫1/TmwT_ew \gg 1/T_mwTew≫1/Tmw 时，可以忽略小量 1/Tmw1/T_mw1/Tmw，工程上一般允许 10% 的误差，故只需满足：
110Tew≥1Tmww2≥10TeTmw≥31TeTm\frac{1}{10}T_ew \ge \frac{1}{T_mw} \\ w^2 \ge \frac{10}{T_eT_m} \\ w \ge 3\sqrt{\frac{1}{T_eT_m}} 101Tew≥Tmw1w2≥TeTm10w≥3TeTm1
G(s)G(s)G(s) 就可以被简化为：
G(s)=1/R1+Tes=G0(s)G\left( s \right) = \frac{1/R}{1+T_es}=G_0(s) G(s)=1+Tes1/R=G0(s)
可以看到，G(s)G(s)G(s) 被简化成了没有反电动势影响时的传递函数 G0(s)G_0(s)G0(s)，即此时可以忽略反电动势的影响。

2. 电流环小惯性环节的降阶

G(s)=1(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)G(jw)=1(1+Tdjw)(1+Tpjw)(1+Tfjw)=1(1−(TdTf+TdTp+TfTp)w2)+((Td+Tf+Tp)w−TdTpTfw3)jG\left( s \right) =\frac{1}{\left( 1+T_ds \right) \left( 1+T_ps \right) \left( 1+T_fs \right)} \\ G\left( jw \right) =\frac{1}{\left( 1+T_djw \right) \left( 1+T_pjw \right) \left( 1+T_fjw \right)}=\frac{1}{\left( 1-\left( T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p \right) w^2 \right) +\left( \left( T_d+T_f+T_p \right) w-T_dT_pT_fw^3 \right) j} G(s)=(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)1G(jw)=(1+Tdjw)(1+Tpjw)(1+Tfjw)1=(1−(TdTf+TdTp+TfTp)w2)+((Td+Tf+Tp)w−TdTpTfw3)j1

wbw_bwb 为电流环的带宽，当满足如下条件时，可以忽略小项 (TdTf+TdTp+TfTp)w2\left( T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p \right)w^2(TdTf+TdTp+TfTp)w2 和 TdTpTfw3T_dT_pT_fw^3TdTpTfw3。
(TdTf+TdTp+TfTp)wb2≪1TdTpTfwb3≪(Td+Tf+Tp)wb\left( T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p \right) w_b^2\ll 1 \\ T_dT_pT_fw_b^3\ll \left( T_d+T_f+T_p \right) w_b (TdTf+TdTp+TfTp)wb2≪1TdTpTfwb3≪(Td+Tf+Tp)wb
进行不等式化简：
wb2≪1TdTf+TdTp+TfTpwb2≪Td+Tf+TpTdTpTf=1TpTf+1TdTf+1TdTpw_b^2\ll \frac{1}{T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p} \\ w_b^2\ll \frac{T_d+T_f+T_p}{T_dT_pT_f}=\frac{1}{T_pT_f}+\frac{1}{T_dT_f}+\frac{1}{T_dT_p} wb2≪TdTf+TdTp+TfTp1wb2≪TdTpTfTd+Tf+Tp=TpTf1+TdTf1+TdTp1
当 Td,Tp,Tf>0T_d,T_p,T_f>0Td,Tp,Tf>0 时，有：
1TdTf+TdTp+TfTp<1TpTf+1TdTf+1TdTp\frac{1}{T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p}\,\,<\frac{1}{T_pT_f}+\frac{1}{T_dT_f}+\frac{1}{T_dT_p} TdTf+TdTp+TfTp1<TpTf1+TdTf1+TdTp1
故只需满足：
wb2≪1TdTf+TdTp+TfTpw_b^2\ll \frac{1}{T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p} wb2≪TdTf+TdTp+TfTp1
工程上可以允许 10% 的误差，所以只要：
wb2≤110(TdTf+TdTp+TfTp)wb≤110(TdTf+TdTp+TfTp)≈131TdTf+TdTp+TfTpw_b^2 \le \frac{1}{10(T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p)} \\ w_b \le \sqrt{\frac{1}{10(T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p)}} \approx \frac{1}{3}\sqrt{\frac{1}{T_dT_f+T_dT_p+T_fT_p}} wb2≤10(TdTf+TdTp+TfTp)1wb≤10(TdTf+TdTp+TfTp)1≈31TdTf+TdTp+TfTp1
就有：
G(s)=1(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)≈11+(Td+Tp+Tf)s=11+TsG\left( s \right) =\frac{1}{\left( 1+T_ds \right) \left( 1+T_ps \right) \left( 1+T_fs \right)} \approx \frac{1}{1+\left( T_d+T_p+T_f \right) s} = \frac{1}{1+Ts} G(s)=(1+Tds)(1+Tps)(1+Tfs)1≈1+(Td+Tp+Tf)s1=1+Ts1

3. 电流环闭环传递函数的降阶

Gclosecrt(s)=wb2s2+2wbs+wb2=11wb2s2+2wbs+1Gclosecrt(jw)=11−(wwb)2+2wbwjG_{close}^{crt}\left( s \right) =\,\,\frac{{w_b}^2}{s^2+\sqrt{2}w_bs+{w_b}^2}=\frac{1}{\frac{1}{{w_b}^2}s^2+\frac{\sqrt{2}}{w_b}s+1} \\ G_{close}^{crt}\left( jw \right) =\,\,\frac{1}{1-\left( \frac{w}{w_b} \right) ^2+\frac{\sqrt{2}}{w_b}wj} Gclosecrt(s)=s2+2wbs+wb2wb2=wb21s2+wb2s+11Gclosecrt(jw)=1−(wbw)2+wb2wj1

当 (w/wb)2≪1(w/w_b)^2 \ll 1(w/wb)2≪1 时，可以忽略小项 (w/wb)2(w/w_b)^2(w/wb)2，工程上允许 10% 的误差，即：
(wbspdwbcrt)2≤110wbspd≤13wbcrt\left( \frac{w_{b}^{spd}}{w_{b}^{crt}} \right) ^2 \le \frac{1}{10} \\ w_{b}^{spd} \le \frac{1}{3}w_{b}^{crt} (wbcrtwbspd)2≤101wbspd≤31wbcrt

4. 最大相角裕度的证明

假设一个二型系统传递函数如下：
G(s)=s+wzs2(s+wp)G\left( s \right) =\frac{s+w_z}{s^2\left( s+w_p \right)} G(s)=s2(s+wp)s+wz
其中，wzw_zwz 为零点的转折频率，wpw_pwp 为极点的转折频率。

相角裕度 γ\gammaγ 表达式如下：
γ=arctan⁡wcwz−arctan⁡wcwp−180°\gamma = \mathrm{arc}\tan \frac{w_c}{w_z}-\mathrm{arc}\tan \frac{w_c}{w_p}-180\degree γ=arctanwzwc−arctanwpwc−180°
要算出 wcw_cwc 为何值时系统拥有最大的相角裕度，我们可以用高中时分析函数单调性、求极值的方法来求解。
γ˙=wzwz2+wc2−wpwp2+wc2γ˙=wzwp2+wzwc2−wpwz2−wpwc2(wz2+wc2)(wp2+wc2)γ˙=wzwp2+wzwc2−wpwz2−wpwc2=0wc=wpwz\dot{\gamma} = \frac{w_z}{{w_z}^2+{w_c}^2}-\frac{w_p}{{w_p}^2+{w_c}^2} \\ \dot{\gamma} = \frac{w_z{w_p}^2+w_z{w_c}^2-w_p{w_z}^2-w_p{w_c}^2}{\left( {w_z}^2+{w_c}^2 \right) \left( {w_p}^2+{w_c}^2 \right)} \\ \dot{\gamma} = w_z{w_p}^2+w_z{w_c}^2-w_p{w_z}^2-w_p{w_c}^2=0 \\ w_c=\sqrt{w_pw_z} γ˙=wz2+wc2wz−wp2+wc2wpγ˙=(wz2+wc2)(wp2+wc2)wzwp2+wzwc2−wpwz2−wpwc2γ˙=wzwp2+wzwc2−wpwz2−wpwc2=0wc=wpwz
可以看到，当 wc=wpwzw_c=\sqrt{w_pw_z}wc=wpwz 时，相角裕度的导数为 0，再简单分析单调性可知，当 wc=wpwzw_c=\sqrt{w_pw_z}wc=wpwz 时，取得最大相角裕度。

【PMSM】一. 经典电流环、速度环设计（上）相关推荐

[仿真]PMSM矢量控制——滑模速度环
PMSM在Simulink下的FOC滑模速度环仿真摘要 PMSM的FOC模型--PI速度环 PMSM的FOC模型--滑模速度环关于滑模速度环改进的讨论摘要本文将通过一个PMSM在Simulin ...
伺服驱动器的三环控制电流环速度环位置环
运动伺服一般都是三环控制系统,从内到外依次是电流环速度环位置环. 1.电流环:电流环的输入是速度环PID调节后的那个输出,我们称为"电流环给定"吧,然后呢就是电流环的这个给定和&q ...
位置环速度环串级位置式PID实现全过程解析（详细）
项目场景: 电机型号:MD36N行星减速电机_AB两相光电编码器霍尔编码器电机参数: //光电编码器线数500,减速比27,减速器长度32.5mm,以1:27输出轴:27*500=13500线,四倍 ...
串级PID 位置环+速度环
1位置环和速度环的串级pid,首先要记住,位置环的输出是速度环的输入,最后控制输出为速度环的输出. 速度环的PID控制器代码如下 float Velocity_KP_A=400,Velocity_K ...
机器人开发--电机中的电流环、速度环、位置环
机器人开发--电机中的电流环.速度环.位置环电流环.速度环.位置环 1 三环原理 1.1 电流环 1.2 速度环 1.3 位置环 2 各环与PID控制 2.1 电流环重点在 PID(比例.积分和微分 ...
什么是伺服电机的电流环、速度环、位置环和带宽？
FAQ: What are servo motor current, velocity and position loops and bandwidths? 伺服电机在闭环系统中运行,该系统包括反馈装 ...
速度环加位置环进行电机控制
最近用电机做羽毛球拍挥拍, 总是出现超调. 于是了解一下 3个环位置环是根据位置关系输出速度, 控制速度环, 速度环是负反馈调节速度. 在中断中可以每50次进行一次位置环, 保证速度调整 ...
速度环+直立环+转向环
文章目录直立环直立环调节速度环速度环调节转向环直立环车模平衡控制也是通过负反馈来实现的,与上面保持木棒直立比较则相对简单.因为车模有两个轮子着地,车体只会在轮子滚动的方向上发生倾斜. ...
【PMSM】二. 经典电流环、速度环设计（下）
上一篇文章讨论了永磁无刷电机电流环.速度环的建模和控制器的参数整定,这篇文章会讨论前馈.滤波.抗饱和算法以及其他一些要注意的细节,且包含了大量工程经验.结合这两篇文章的内容,我们可以完整地使用经典 P ...

【PMSM】一. 经典电流环、速度环设计（上）