UA MATH565C 随机微分方程V Markov Family的特征函数

特征函数

上一讲用u(t,x)u(t,x)u(t,x)和v(t,x)v(t,x)v(t,x)描述了Markov Family的函数f(ξt)f(\xi_t)f(ξt)，与积分∫0tg(ξs)ds\int_0^t g(\xi_s)ds∫0tg(ξs)ds的期望，并给出了他们满足的PDE。但PDE方法只能解决f(ξt)f(\xi_t)f(ξt)与∫0tg(ξs)ds\int_0^t g(\xi_s)ds∫0tg(ξs)ds的期望，这一讲试图用特征函数来描述他们的分布。

特征函数

ξt\xi_tξt与∫0tg(ξs)ds\int_0^t g(\xi_s)ds∫0tg(ξs)ds的联合特征函数是
κt(z1,z2)=Ex[exp⁡(iz1∫0tg(ξs)ds)eiz2ξt]\kappa_t(z_1,z_2)=E_x[\exp (iz_1\int_0^t g(\xi_s)ds)e^{iz_2\xi_t}]κt(z1,z2)=Ex[exp(iz1∫0tg(ξs)ds)eiz2ξt]
完备性保证特征函数和分布是一一对应的。定义
c(ξs)=iz1g(ξs),f(ξt)=eiz2ξtc(\xi_s) = iz_1g(\xi_s),f(\xi_t)=e^{iz_2\xi_t}c(ξs)=iz1g(ξs),f(ξt)=eiz2ξt
则特征函数可以简写成
κt(z1,z2)=Ex[exp⁡(∫0tc(ξs)ds)f(ξt)]\kappa_t(z_1,z_2)=E_x[\exp (\int_0^t c(\xi_s)ds)f(\xi_t)]κt(z1,z2)=Ex[exp(∫0tc(ξs)ds)f(ξt)]
其中ccc是有界一致连续函数，f∈DAf\in D_Af∈DA，可以证明
∂κt(z1,z2)∂t=Aκt(z1,z2)+c(x)κt(z1,z2)κ0(z1,z2)=f(x)\frac{\partial \kappa_t(z_1,z_2)}{\partial t} = A\kappa_t(z_1,z_2) + c(x)\kappa_t(z_1,z_2) \\ \kappa_0(z_1,z_2) = f(x)∂t∂κt(z1,z2)=Aκt(z1,z2)+c(x)κt(z1,z2)κ0(z1,z2)=f(x)

证明（并不是完整证明，只是一些关键步骤）
定义算子
P~tf(x)=Ex[f(ξt)exp⁡(∫0tc(ξs)ds)]\tilde{P}_t f(x) = E_x[f(\xi_t)\exp(\int_0^t c(\xi_s)ds)]P~tf(x)=Ex[f(ξt)exp(∫0tc(ξs)ds)]
这个算子的范数有上界
∥P~t∥=sup⁡∣Ex[f(ξt)exp⁡(∫0tc(ξs)ds)]∣sup⁡f(x)≤sup⁡Ex[exp⁡(∫0tc(ξs)ds]≤etsup⁡c(x)\left\| \tilde{P}_t \right\| = \sup \frac{|E_x[f(\xi_t)\exp(\int_0^t c(\xi_s)ds)]|}{\sup f(x)} \le \sup E_x[\exp(\int_0^t c(\xi_s)ds] \le e^{t\sup c(x)}∥∥∥P~t∥∥∥=supsupf(x)∣Ex[f(ξt)exp(∫0tc(ξs)ds)]∣≤supEx[exp(∫0tc(ξs)ds]≤etsupc(x)
接下来验证这个算子是一个算子半群，即验证P~t+s=P~tP~s\tilde{P}^{t+s} = \tilde{P}^t \tilde{P}^sP~t+s=P~tP~s：
P~t+sf=Ex[f(ξt+s)exp⁡(∫0t+sc(ξr)dr)]=Ex[Ex[f(ξt+s)exp⁡(∫0tc(ξr)dr+∫tt+sc(ξr)dr)∣F≤t]]=Ex[exp⁡(∫0tc(ξr)dr)Ex[θtexp⁡(∫0sc(ξr)dr)f(ξs)∣F≤t]]\tilde{P}^{t+s}f = E_x[f(\xi_{t+s})\exp(\int_0^{t+s} c(\xi_r)dr)] \\ = E_x[E_x[f(\xi_{t+s})\exp(\int_0^{t} c(\xi_r)dr +\int_t^{t+s} c(\xi_r)dr )|\mathcal{F}_{\le t}]] \\ = E_x[\exp(\int_0^{t} c(\xi_r)dr)E_x[\theta_t\exp(\int_0^{s} c(\xi_r)dr )f(\xi_{s})|\mathcal{F}_{\le t}]] P~t+sf=Ex[f(ξt+s)exp(∫0t+sc(ξr)dr)]=Ex[Ex[f(ξt+s)exp(∫0tc(ξr)dr+∫tt+sc(ξr)dr)∣F≤t]]=Ex[exp(∫0tc(ξr)dr)Ex[θtexp(∫0sc(ξr)dr)f(ξs)∣F≤t]]
因为shift operatorθt\theta_tθt作用在filtration F≤t\mathcal{F}_{\le t}F≤t的条件下，所以它不会提供额外的信息，上面这个式子就是P~tP~sf\tilde{P}^t \tilde{P}^sfP~tP~sf，但可以用Markov Property得到更简化的式子：=Ex[exp⁡(∫0tc(ξr)dr)f(ξs)]=E_x[\exp(\int_0^{t} c(\xi_r)dr)f(\xi_s)]=Ex[exp(∫0tc(ξr)dr)f(ξs)]

假设A~\tilde{A}A~是这个算子半群的infinitesimal generator，则
DA~=DAA~f=Af+cfD_{\tilde{A}} = D_A \\ \tilde{A}f = Af + cfDA~=DAA~f=Af+cf
根据第二条就可以得出特征函数满足的PDE，我们先证第二条：
A~f=lim⁡t→0P~tf−ft=lim⁡t→0P~tf−Ptft+lim⁡t→0Ptf−ft\tilde{A}f = \lim_{t \to 0} \frac{\tilde{P}^tf - f}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\tilde{P}^tf - P^tf}{t} + \lim_{t \to 0} \frac{P^tf - f}{t}A~f=t→0limtP~tf−f=t→0limtP~tf−Ptf+t→0limtPtf−f
第二项就是AfAfAf，下面计算第一项：当t→0t \to 0t→0时，
P~tf−Ptf=Ex[f(ξt)exp⁡(∫0tc(ξs)ds)]−Ex[f(ξt)]=Ex[f(ξt)(exp⁡(∫0tc(ξs)ds)−1)]=Ex[f(ξt)(∫0tc(ξs)ds+o(∫0tc(ξs)ds))]\tilde{P}^tf - P^tf = E_x[f(\xi_t)\exp(\int_0^t c(\xi_s)ds)] - E_x[f(\xi_t)] \\= E_x[f(\xi_t)(\exp(\int_0^t c(\xi_s)ds) - 1)] = E_x[f(\xi_t)(\int_0^tc(\xi_s)ds+o(\int_0^tc(\xi_s)ds))]P~tf−Ptf=Ex[f(ξt)exp(∫0tc(ξs)ds)]−Ex[f(ξt)]=Ex[f(ξt)(exp(∫0tc(ξs)ds)−1)]=Ex[f(ξt)(∫0tc(ξs)ds+o(∫0tc(ξs)ds))]
因为ccc是有界一致连续函数，o(∫0tc(ξs)ds)=o(tsup⁡c)=o(t)o(\int_0^tc(\xi_s)ds) = o(t \sup c)=o(t)o(∫0tc(ξs)ds)=o(tsupc)=o(t)，所以
lim⁡t→0P~tf−Ptft=lim⁡t→0Ex[f(ξt)(∫0tc(ξs)ds+o(t))]t=cf,unif.\lim_{t \to 0} \frac{\tilde{P}^tf - P^tf}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{E_x[f(\xi_t)(\int_0^tc(\xi_s)ds+o(t))]}{t} =cf,\ unif.t→0limtP~tf−Ptf=t→0limtEx[f(ξt)(∫0tc(ξs)ds+o(t))]=cf, unif.

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