Union-find

终于抽出时间总结回顾一下Union-find了！

《算法》书中，从quick_find,quick_union到weighted_quick_union到path compression，一步步深入。下面是用C++实现的版本。

quick find

O(1)时间查找一个节点所属的组，平均用O(n)时间合并两个节点。思路是这样的：将N个点所属的组（id）初始为相应的标号：0~N-1。之后，若碰到合并两个节点时，则将每个组内的所有点的id更新为同一个值。

#include <vector>
#include <time.h>
#include <fstream>using namespace std;
/*
O(1)查找两个节点是否连通，O(n)时间Union
相当于给每个节点进行分组，每个组内节点的标号是一致的
*/class QuickFindUF
{
public:QuickFindUF(int N);int get_count();int find(int p);bool connected(int p, int q);void Union(int p, int q);private:vector<int> id;int count; //连通分量数
};QuickFindUF::QuickFindUF(int N)
{count = N;id = vector<int>(N);for (int i = 0; i < N; i++){id[i] = i;}
}int QuickFindUF::get_count()
{return count;
}int QuickFindUF::find(int p)
{return id[p];
}bool QuickFindUF::connected(int p, int q)
{return find(p) == find(q);
}void QuickFindUF::Union(int p, int q)
{int pID = find(p);int qID = find(q);//先检查是否连通。所以当需要连接两个点时，不需要在外面检测是否连通if (pID == qID)return;int sz = id.size();for (int i = 0; i < sz; i++){if (find(i) == pID)id[i] = qID;}count--;
}//0.01s
int main()
{ifstream cin("mediumUF.txt");ofstream cout("outmediumUF.txt");int N;cin >> N;QuickFindUF qfUF(N);clock_t start, end;start = clock();while (cin){int p, q;cin >> p >> q;if (qfUF.connected(p, q)) continue;qfUF.Union(p,q);}end = clock();double totoal_time = (double)(end-start)/CLK_TCK;cout << qfUF.get_count() << endl;cout << "quick find total time: " << totoal_time << "s";cin.close();cout.close();
}

quick union

quick union为了提高union的速度，改变了union策略。对于每个点而言，存放它的父结点。初始时，每个点的父节点是本身。当合并两个节点的时候，先找出这个点的祖先节点rootP,rootQ，若两者不等，则将rootP的父节点设置成rootQ。所以，parent数组里保存的是每个点的父节点，而当一个节点的父节点是自身的时候，那么这个节点即是根节点。对于查找一个节点的父节点，时间复杂度为树的高度；而union两个节点的复杂度也是树的高度，因为union的时候，需要先找出p,q两个节点的根节点。union之后，原来以rootP为根结点的树直接挂到rootQ上，因此所有节点的高度加1。

#include <vector>
#include <fstream>
#include <time.h>using namespace std;/*
parent[]数组用父链接的形式组成了一个森林。
*/class QuickUnionUF
{
public:QuickUnionUF(int N);int get_count();int find(int p);bool connected(int p, int q);void Union(int p, int q);private:vector<int> parent;int count;};QuickUnionUF::QuickUnionUF(int N)
{parent = vector<int>(N);count = N;for (int i = 0; i < N; i++){parent[i] = i;}
}int QuickUnionUF::get_count()
{return count;
}int QuickUnionUF::find(int p)
{while (p != parent[p]){p = parent[p];}return p;
}bool QuickUnionUF::connected(int p, int q)
{return find(p) == find(q);
}void QuickUnionUF::Union(int p, int q)
{int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ)return;parent[rootP] = rootQ; //以rootP为根的树的高度加1.count--;
}//0.051s
int main()
{ifstream cin("mediumUF.txt");ofstream cout("outmediumUF.txt");int N;cin >> N;QuickUnionUF quUF(N);clock_t start, end;start = clock();while (cin){int p, q;cin >> p >> q;if (quUF.connected(p, q)) continue;quUF.Union(p,q);}end = clock();double totoal_time = (double)(end-start)/CLK_TCK;cout << quUF.get_count() << endl;cout << "quick union total time: " << totoal_time << "s";cin.close();cout.close();
}

weighted quick union

quick union算法有一点不好的是，parent数组表示的树可能非常不平衡。因此提出一种改进的算法。改进的地方在于：每次union的时候，不是盲目地直接将rootP的父节点设置成rootQ，而是根据两棵树的大小：树小的连接到树大的根结点上。这样，树就会一直保持平衡。要实现这一点，要添加一个变量来保持树的大小。

#include <vector>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <time.h>using namespace std;/*
使得树更平衡，查找次数减少
*/class WeightedQuickUnion
{public:WeightedQuickUnion(int N);int get_count();int find(int p);bool connected(int p, int q);void Union(int p, int q);private:vector<int> parent;vector<int> size;int count;
};WeightedQuickUnion::WeightedQuickUnion(int N)
{parent = vector<int>(N);size = vector<int>(N);count = N;for (int i = 0; i < N; i++){parent[i] = i;size[i] = 1;}
}int WeightedQuickUnion::get_count()
{return count;
}int WeightedQuickUnion::find(int p)
{while (p != parent[p]){parent[p] = parent[parent[p]]; //path compressionp = parent[p];}return p;
}bool WeightedQuickUnion::connected(int p, int q)
{return find(p) == find(q);
}void WeightedQuickUnion::Union(int p, int q)
{int rootP = find(p);int rootQ = find(q);if (rootP == rootQ) //必须加上。如果p,q本来相连，后面的代码不能执行.return;if (size[rootP] < size[rootQ]){parent[rootP] = rootQ;size[rootQ] += size[rootP];}else{parent[rootQ] = rootP;size[rootP] += size[rootQ];}count--;
}

path compression

实现了树的平衡还没完，还可以在查找一个节点的根结点的过程中，进一步减小树的深度。即把树flatten。理想情况下，只有一个根结点，所有的孩子在高度为1的地方，这样find起来就会比较快。可以用two-pass来完成，即找到p的根结点后，把路径上的点的根结点都设为根结点。

但是我们最后采用了一个简便的方法：如果一个节点p的父节点parent[p] ！= p，即p不是根结点，那么就把p的父节点设置成p的爷爷节点。只需要在find的while循环中加一行代码就可以实现了。代码见weighted quick union代码中注释为//path compression的地方。达到的效果是把树的高度减半。

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