定义

设给定集合 II 及定义在 II 上的函数 AA，对于每个 i∈Ii \in I，记 Ai=A(i), A_i = A(i), 并用 {Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I} 记这函数，称之为一个族。称 II 为标集，称每个 i∈Ii \in I 为标号，称 AiA_i 为这个族的项。
如果值域在集合 MM 内，函数也可写为 {Ai}i∈I,(∀i∈I,Ai∈M)\{A_i\}_{i \in I}, (\forall i \in I, A_i \in M) 。
如果 ∀i∈I,Ai\forall i \in I, A_i 是集合，就叫 {Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I} 为一个集族。

符号	名称	同义词
AA		函数
II	标集	定义域
ii	标号	（自）变量
AiA_i	项	因变量，函数值
{Ai}i∈I\{A_i\}_{i \in I}	族	定义域为 II 的函数 AA
ran{Ai}i∈Iran \{A_i\}_{i \in I}		值域

集组和集族的关系

集族的值域是集组，集组是某一集族（如恒等函数 {Ai=i}i∈I \{A_i = i \} _{i \in I} ）的值域。

集族的项的并集

定义： ∪i∈IAi=∪(ran{Ai}i∈I)={x∣∃i∈I(x∈Ai)}\underset{i \in I} \cup {A_i} = \cup (ran \{A_i\}_{i \in I}) = \{ x \mid \exists i \in I (x \in A_i) \}

集族的项的交集

定义： ∩i∈IAi=∩(ran{Ai}i∈I)={x∣∀i∈I(x∈Ai)}\underset{i \in I} \cap {A_i} = \cap (ran \{A_i\}_{i \in I}) = \{ x \mid \forall i \in I (x \in A_i) \}

集族的笛卡尔积

定义：对于集族 {Ai}i∈I \{A_i\}_{i \in I} ，记
×i∈IAi={{ai}i∈I∣∀i∈I(ai∈Ai)}\underset{i \in I} \times A_i = \{ \{a_i\}_{i \in I} \mid \forall i \in I (a_i \in A_i) \}

可见集族的笛卡尔乘积是集族的集合。

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