如何建立数学模型系列之【一.通俗解释及相关概念】

  • 第一章.数学模型相关定义
    • 1.1 原型 与 模型
    • 1.2 数学模型最简单的例子
    • 1.3 数学建模的基本方法和步骤
    • 1.4数学模型的特点和分类
      • 1.4.1数学模型的特点
      • 1.4.2 数学模型的分类
    • 1.5 如何学数学建模
  • 第二章.简化的优化模型

用处说明：
目的：
这个系列博主为什么要做？先和大家说明一下，在我的研究方向中博主需要 自主建立数学模型，然后 优化数学模型得到最优解！此前博主的方向一直放在了优化上，发现其实优化知识解决数学模型的计算方法，对于 如何建立数学模型却并没有说！所以对于我自己的研究问题，我仍然不知道这个数学模型是如何建立起来的，看了人家的论文，由于都是成品，也不会告诉你他的模型是怎么建立的！师兄告诉我要根据你的目的建立？What?那一些细节的地方呢？就感觉很模糊，所以博主才想到 应该是我数学模型建立这一块的知识并不是很充足！博主本科并没有接触过此系列的东西（本科搞嵌入式的），可以说对于数学模型是什么都没有很深刻的理解！所以来补充此块的知识以便于研究的进展…

参考文献是《数学模型》姜启源（第五版）

如多大家是做优化调度/数学规划/最优化等这一块内容的，那么我们的方向的确就很切合…

快速学习
为了快速的学习并运用相关知识，这个系列大框架有两个：

  • 第一个系列就是这一篇文章，通俗介绍数学模型的概念以及一些相关知识点【已完结】…
  • 第二个系列我们直接从案例下手，进行相关的代码编写，对优化问题能有个更好的理解，这样学的效率也是最高的，整理好后我会把链接放上来的…【待整理】…

第一章.数学模型相关定义

1.1 原型 与 模型

  • 原型
    通俗的说原型就是指现实世界中索真实存在的东西，比如钢铁的冶炼过程、导弹的飞行过程、电力系统、机械系统等…
  • 模型
    模型通俗的说，是指为了某个特定的目的或特定的任务将原型中的一部分信息进行缩减、提炼而构造的原型替代物。

1.2 数学模型最简单的例子


重要
一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定的目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构！

  • 建立数学模型的步骤
    Step1:根据建立数学模型的目的和问题的背景做出必要的简化假设；
    Step2:用字母表示待求的未知量
    Step3:利用相应的物理或其它规律列出数学式子
    Step4:求出数学上的解答
    Step5:最后还要用实际现象来验证上述结果

1.3 数学建模的基本方法和步骤

  • 数学建模的基本方法

数学建模方法大致分为：

①机理分析
机理分析通俗的讲需要知道反应内部机理的数量规则，建立的模型常有明确的物理或现实意义。

②测试分析
将研究对象看做是一个“黑箱”（就是指内部机理看不清楚），通过对系统输出、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合的最好的模型（其实基于数据建模的机器学习就是属于这个方法）。

  • 数学建模的一般步骤

①模型准备
了解实际背景，明确建模目的，搜集必要的信息如现象。数据等、尽量弄清对象的主要特征，形成一个比较清晰的“问题”；

②模型假设
根据对象的特征和建模的目的，抓住问题的本质，忽略次要因素，做出必要的、合理的简化假设；
假设做的不合理或者过于简单，会导致模型把错误或者不可用！假设做的太复杂，会让你很难进项下一步工作；所以假设要做的适中
通常，做假设的依据：
1）处于对问题内在规律的认识
2）来自对现象、数据的分析
3）以及二者的总和、想象力、洞察力等

③模型构成
根据所作的假设，用数学的语言、符号描述对象的内在规律，建立包含常量、变量的你给的数学模型；
如优化模型、微分方程模型、差分方程模型、图的模型等；

④模型求解
可以采用截仓城、画图形、优化方法、数值计算、统计分析等各种数学方法，特别是数学软件和计算机技术；

⑤模型分析
对求解结果进行数学上的分析，如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的灵敏性分析、对假设的强健分析等；

⑥模型检验’
把求解结果翻译回到实际问题中，与实际的现象、数据比较、检验模型的合理性和适用性。
如果与结果不符，问题常常出在模型的假设上，应该修改、补充假设，重新建模；
这一步对于模型是否真的有用非常关键，要以严肃认真的态度对待。有些模型要经过几次反复，不断完善，知道检验结果获得某种程度上的满意！！！

⑦模型的应用
因背景而异

  • 数学建模的全过程

    归纳是根据个别现象推出一般规律；
    演绎是按照普遍原理考察特定对象，导出结论；
    总结二者关系：归纳是演绎的基础，演绎是归纳的指导。

上面的图也解释了现实对象和数学模型的关系：
一方面，数学模型是将现象加以归纳、抽象的产物，它源于现实，又高于现实；
另一方面，只有当数学建模的结果经手主现实对象的检验时，才可以用来知道实际，完成实践-理论-实践这一循环。

1.4数学模型的特点和分类

1.4.1数学模型的特点

  • 模型的逼真性和可行性
    逼真性与可行性之间要有所取舍，选择最合理的！

  • 模型的渐进性
    要不断修改，不断迭代，才能达到最好；

  • 模型的强健性

  • 模型的可转移性
    可以在不同领域里发光发热

  • 迷行的条理性
    即便建不出来模型，也能让你理顺思路；

  • 模型的技艺性
    建模是技艺性很强的技巧。经验、想象力、洞察力、判断力以及直觉、灵感等再建模过程中起到的作用往往比一些具体的数学知识更大。

  • 模型的局限性
    第一，模型是抽象于现实的，所以应用到现实时，必须考虑到所忽略的因素，结论只是近似的；
    第二，有一些模型不知道其内部复杂机理，影响因素众多。常常需要开发专家系统，与建立数学模型相结合才能获得较满意的应用效果！

1.4.2 数学模型的分类

  1. 可以按照应用领域划分

  2. 按照模型的表现特性划分
    1）确定模型和随机模型：主要取决于是否考虑随机因素的影响；
    2）静态模型和动态模型：去接与是否考虑时间因素引起的变化；
    3）线性模型和非线性模型：取决模型的基本关系，如微分方程是否是线性的
    4）离散模型和连续模型：指模型中的变量（主要是时间变量）是离散的还是连续的；

  3. 按照建模目的划分
    有描述模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型。

  4. 对模型结构的了解程度划分
    有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型。颜色越深就是越不了解！

1.5 如何学数学建模

就放一条最重要的：案例研究-推理-吃透-再拓展

第二章.简化的优化模型

当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候：
Step1-要确定优化的目标是什么？
Step2-寻求的决策是什么？
Step3-决策收到哪些条件限制？
Step4-然后用数学工具（变量、常数、函数等）表示它们；
Step5-检验模型

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