概率论与数理统计-读书笔记3
第三章 多维随机变量及其分布
§ 1 二维随机变量
二维随机变量定义: 设E是一个随机试验, 它的样本空间是S={e}, 设X=X(e)X=X(e)X=X(e)和Y=Y(e)Y=Y(e)Y=Y(e)是定义在S上的随机变量, 由它们构成的一个向量(X,Y)(X, Y)(X,Y),叫做二维随机向量或二维随机变量.
二维随机变量(X,Y)(X,Y)(X,Y)的分布函数的定义: 又称为随机变量X, Y的联合分布函数.设( X,YX, YX,Y )是二维随机变量,对于任意实数 x,y,x, y,x,y, 二元函数
F(x,y)=P{(X⩽x)∩(Y⩽y)}=记成 P{X⩽x,Y⩽y}F(x, y)=P\{(X \leqslant x) \cap(Y \leqslant y)\} \stackrel{\text { 记成 }}{=} P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}F(x,y)=P{(X⩽x)∩(Y⩽y)}= 记成 P{X⩽x,Y⩽y}
四大基本性质:
F(x,y)F(x, y)F(x,y) 是变量 xxx 和 yyy 的不减函数
0⩽F(x,y)⩽10 \leqslant F(x, y) \leqslant 10⩽F(x,y)⩽1, 且
对于任意固定的 y,F(−∞,y)=0y, F(-\infty, y)=0y,F(−∞,y)=0
对于任意画定的 x,F(x,−∞)=0x, F(x,-\infty)=0x,F(x,−∞)=0
F(−∞,−∞)=0,F(∞,∞)=1F(-\infty,-\infty)=0, F(\infty, \infty)=1F(−∞,−∞)=0,F(∞,∞)=1F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y),F(x+0, y)=F(x, y), F(x, y+0)=F(x, y),F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y), 即 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 关于 xxx 右连续,关于 yyy 也右连续.
对于任意 (x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2,\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), x_{1}<x_{2}, y_{1}<y_{2},(x1,y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2, 下述不等式成立: F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)⩾0F\left(x_{2}, y_{2}\right)-F\left(x_{2}, y_{1}\right)+F\left(x_{1}, y_{1}\right)-F\left(x_{1}, y_{2}\right) \geqslant 0F(x2,y2)−F(x2,y1)+F(x1,y1)−F(x1,y2)⩾0
离散型的随机变量的定义: 二维随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)所有可能取到的值是有限对或可列无限多对
二维离散型随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的分布律: 又称为随机变量X和Y的联合分布律
二维离散型随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的分布函数:F(x,y)=∑xi⩽xyj⩽ypijF(x, y)=\sum_{x_{i} \leqslant x y_{j} \leqslant y} p_{i j}F(x,y)=∑xi⩽xyj⩽ypij
连续型的二维随机变量的分布函数:F(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudvF(x, y)=\int_{-\infty}^{y} \int_{-\infty}^{x} f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{d} vF(x,y)=∫−∞y∫−∞xf(u,v)dudv
其中, $ f(u, v) 为∗∗二维离散型随机变量为**二维离散型随机变量为∗∗二维离散型随机变量(X, Y)$的概率密度**
概率密度的四大性质:
f(x,y)⩾0f(x, y) \geqslant 0f(x,y)⩾0
∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y=F(\infty, \infty)=1∫−∞∞∫−∞∞f(x,y)dxdy=F(∞,∞)=1
设 G 是 xOyx O yxOy 平面上的区域,点 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 落在 GGG 内的概率为
P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdyP\{(X, Y) \in G\}=\iint_{G} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y P{(X,Y)∈G}=∬Gf(x,y)dxdy若 f(x,y)f(x, y)f(x,y) 在点 (x,y)(x, y)(x,y) 连续 ,,, 则有
∂2F(x,y)∂x∂y=f(x,y)\frac{\partial^{2} F(x, y)}{\partial x \partial y}=f(x, y) ∂x∂y∂2F(x,y)=f(x,y)
§ 2 边缘分布
二维离散型随机变量(X,Y)(X, Y)(X,Y)的边缘分布函数: 随机变量X, Y各自的分布函数
边缘分布函数和分布函数的关系:
FX(x)=P{X⩽x}=P{X⩽x,Y<∞}=F(x,∞)F_{X}(x)=P\{X \leqslant x\}=P\{X \leqslant x, Y<\infty\}=F(x, \infty) FX(x)=P{X⩽x}=P{X⩽x,Y<∞}=F(x,∞)
就是说，只要在函数 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 中令 y→∞y \rightarrow \inftyy→∞ 就能得到 FX(x)F_{X}(x)FX(x)
边缘分布律:
X的分布律:P{X=xi}=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯P\left\{X=x_{i}\right\}=\sum_{j=1}^{\infty} p_{i j}, \quad i=1,2, \cdotsP{X=xi}=j=1∑∞pij,i=1,2,⋯
Y的分布律:P{Y=yj}=∑i=1∞pij,j=1,2,⋯P\left\{Y=y_{j}\right\}=\sum_{i=1}^{\infty} p_{i j}, \quad j=1,2, \cdotsP{Y=yj}=i=1∑∞pij,j=1,2,⋯
分别称 pi.(i=1,2,⋯)p_{i} .(i=1,2, \cdots)pi.(i=1,2,⋯) 和 p.j(j=1,2,⋯)p . j(j=1,2, \cdots)p.j(j=1,2,⋯) 为( X,YX, YX,Y ) 关于 XXX 和关于 YYY 的边缘分布律(注意, 记号 pi.p_{i} .pi. 中的“・"表示 pi.p_{i} .pi. 是由 pijp_{i j}pij 关于 jjj 求和后得到的;同样 ,p., p .,p. 是由 pijp_{i j}pij 关于 iii 求和后得到的）.
边缘概率密度:
X的概率密度:
fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dyf_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d} y fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy
Y的概率密度:
fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dxf_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) \mathrm{d} x fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx
分别称 fX(x),fY(y)f_{X}(x), f_{Y}(y)fX(x),fY(y) 为 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 关于 XXX 和关于 Y 的边缘概率密度.
§ 3 条件分布
**条件分布的定义: ** 设 ( X,YX, YX,Y ) 是二维离散型 随机变量，对于固定的 j,j,j, 若 P{Y=yj}>0P\left\{Y=y_{j}\right\}>0P{Y=yj}>0, 则称
P{X=xi∣Y=yj}=P{X=xi,Y=yj}P{Y=yj}=pijpij,i=1,2,⋯P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\frac{P\left\{X=x_{i}, Y=y_{j}\right\}}{P\left\{Y=y_{j}\right\}}=\frac{p_{i j}}{p_{i j}}, i=1,2, \cdots P{X=xi∣Y=yj}=P{Y=yj}P{X=xi,Y=yj}=pijpij,i=1,2,⋯
为在 Y=yjY=y_jY=yj 条件下随机变量 X 的条件分布律。
条件分布具有的分布律性质:
- P{X=xi∣Y=yj}⩾0P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\} \geqslant 0P{X=xi∣Y=yj}⩾0
- ∑i=1∞P{X=xi∣Y=yj}=∑i=1∞pijpij=1pij∑i=1∞pij=pjpij=1\sum_{i=1}^{\infty} P\left\{X=x_{i} \mid Y=y_{j}\right\}=\sum_{i=1}^{\infty} \frac{p_{i j}}{p_{i j}}=\frac{1}{p_{i j}} \sum_{i=1}^{\infty} p_{i j}=\frac{p_{j}}{p_{i j}}=1∑i=1∞P{X=xi∣Y=yj}=∑i=1∞pijpij=pij1∑i=1∞pij=pijpj=1
条件概率密度的定义: 设二维随机变量(X，Y)(X，Y)(X，Y)的概率密度为 f(x,y),(X,Y)f(x, y),(X, Y)f(x,y),(X,Y) 关于 YYY 的边缘概率密度为 fY(y).f_{Y}(y) .fY(y). 若对于固定的 y,fY(y)>0,y, f_{Y}(y)>0,y,fY(y)>0, 则称 f(x,y)fY(y)\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)}fY(y)f(x,y) 为在 Y=yY=yY=y 的条件下 X 的条件概率密度，记
fX∣Y(x∣y)=f(x,y)fY(y)f_{X \mid Y}(x \mid y)=\frac{f(x, y)}{f_{Y}(y)} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)
§ 4 相互独立的随机变量
定义: 设 F(x,y)F(x, y)F(x,y) 及 FX(x),FY(y)F_{X}(x), F_{Y}(y)FX(x),FY(y) 分别是二维随机变量 (X,Y)(X, Y)(X,Y) 的分布函数及边缘分布 函数. 若对于所有 x,yx, yx,y 有
P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}P{Y⩽y}P\{X \leqslant x, Y \leqslant y\}=P\{X \leqslant x\} P\{Y \leqslant y\} P{X⩽x,Y⩽y}=P{X⩽x}P{Y⩽y}
即,
F(x,y)=FX(x)FY(y)F(x, y)=F_{X}(x) F_{Y}(y) F(x,y)=FX(x)FY(y)
则称随机变量 X 和 Y 是相互独立的
§ 5 两个随机变量的函数分布
(一) Z=X+YZ = X+YZ=X+Y 的分布
设( X,YX, YX,Y ) 是二维连续型随机变量 ,,, 它具有概率密度 f(x,y).f(x, y) .f(x,y). 则 Z=X+YZ=X+YZ=X+Y 仍为连续型随机变量,其概率密度为
fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dyf_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(z-y, y) \mathrm{d} y fX+Y(z)=∫−∞∞f(z−y,y)dy
或
fX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dxf_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, z-x) \mathrm{d} x fX+Y(z)=∫−∞∞f(x,z−x)dx
卷积公式:
又若 X 和 Y 相互独立，设 (X,Y) 关于 X,Y 的边缘密度分别为 fX(x)f_{X}(x)fX(x), fY(y)f_{Y}(y)fY(y), 则
fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dyf_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(z-y) f_{Y}(y) \mathrm{d} y fX+Y(z)=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy
和
fX+Y(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y}(z-x) \mathrm{d} x fX+Y(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx
称为fXf_{X}fX 和 fYf_{Y}fY 的卷积公式 ,,, 记为 fX∗fY,f_{X} * f_{Y},fX∗fY, 即
fX∗fY=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dxf_{X} * f_{Y}=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(z-y) f_{Y}(y) \mathrm{d} y=\int_{-\infty}^{\infty} f_{X}(x) f_{Y}(z-x) \mathrm{d} x fX∗fY=∫−∞∞fX(z−y)fY(y)dy=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx
(二) Z=YXZ=\frac{Y}{X}Z=XY 的分布 ,Z=XY, Z=X Y,Z=XY 的分布
设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度 f(x,y),f(x, y),f(x,y), 则 Z=YXZ=\frac{Y}{X}Z=XY, Z=XYZ=X YZ=XY 仍为连续型随机变量，其概率密度分别为
fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,xz)dxf_{Y / X}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}|x| f(x, x z) \mathrm{d} x fY/X(z)=∫−∞∞∣x∣f(x,xz)dx
fXY(z)=∫−∞∞1∣x∣f(x,zx)dxf_{X Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{|x|} f\left(x, \frac{z}{x}\right) \mathrm{d} x fXY(z)=∫−∞∞∣x∣1f(x,xz)dx
(三) M=max{X,Y}M=max \{X, Y\}M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}N=min \{X, Y\}N=min{X,Y}的分布
设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为 FX(x)F_{X}(x)FX(x) 和FY(y).F_{Y}(y) .FY(y). 现在来求 M=max{X,Y}M=\max \{X, Y\}M=max{X,Y} 及 N=min{X,Y}N=\min \{X, Y\}N=min{X,Y} 的分布函数.
由于 M=max{X,Y}M=\max \{X, Y\}M=max{X,Y} 不大于 zzz 等价于 XXX 和 YYY 都不大于 zzz,故有
P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}P\{M \leqslant z\}=P\{X \leqslant z, Y \leqslant z\} P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}
又由于 X 和 Y 相互独立，得到 M=max{X,Y}M=\max \{X, Y\}M=max{X,Y} 的分布 函数为
Fmax(z)=P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}=P{X⩽z}P{Y⩽z}F_{\max }(z)=P\{M \leqslant z\}=P\{X \leqslant z, Y \leqslant z\}=P\{X \leqslant z\} P\{Y \leqslant z\} Fmax(z)=P{M⩽z}=P{X⩽z,Y⩽z}=P{X⩽z}P{Y⩽z}
即有 Fmax(z)=FX(z)FY(z)F_{\max }(z)=F_{X}(z) F_{Y}(z)Fmax(z)=FX(z)FY(z)
类似地，可得 N=min{X,Y}N=\min \{X, Y\}N=min{X,Y} 的分布函数为
Fmin(z)=P{N⩽z}=1−P{N>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}\begin{aligned} F_{\min }(z) &=P\{N \leqslant z\}=1-P\{N>z\} \\ &=1-P\{X>z, Y>z\}=1-P\{X>z\} \cdot P\{Y>z\} \end{aligned} Fmin(z)=P{N⩽z}=1−P{N>z}=1−P{X>z,Y>z}=1−P{X>z}⋅P{Y>z}
即
Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]F_{\min }(z)=1-\left[1-F_{X}(z)\right]\left[1-F_{Y}(z)\right] Fmin(z)=1−[1−FX(z)][1−FY(z)]
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