浅谈信号处理三大变换

参考

信号与系统（第二版）——奥本海姆

欧拉公式

先从欧拉公式说起：

这一公式在数理上可以由幂级数推导而出。由三角函数的基础知识，sin(x+π/2)=cosx。因此sinx与cosx本质上来说是一组正交基。而只有正交基可以在不产生任何冗余的情况下完整地表示任何信号（可以用正交分解来想象）。因此，使用这一组正交基来表示复杂信号就是傅里叶级数的根本思想。

三大变换

一般信号处理的三大变换是指：傅里叶变换，拉普拉斯变换与Z变换
上图简述了各个变换之间的关系。文字叙述来说就是，拉普拉斯变换是傅里叶变换的更为一般的形式，而Z变换则是拉普拉斯变换的离散形式。

至于让人看着眼花缭乱的DTFT，DFT，FFT。其实也可以看成，DTFT是傅里叶变换FT的离散形式，而为了让计算机计算傅里叶变换，我们不得不限制一个有限的处理区间，因此有了DFT。所以DFT主要是服务于计算机。而经典算法FFT则是通过分治的思想，将DFT的复杂度由O(n²)降至对数数量级。所以FFT是DFT的一种加速算法。

接下来，我们对三大变换逐一理解。

FT也就是傅里叶变换，又称之为连续时间下的傅里叶变换，我们可以发现其表达式就是时域信号f(t)乘以e^iwt并在无穷区间内的积分。同时，我们可以用欧拉公式展开e^iwt，会发现这个表达式表述的其实是一个周期为2π的单位圆。由单位圆的特性，无论t如何取值，幅值都恒等于一，这一性质保证了傅里叶变换在能量上的守恒。

那么傅里叶变换的作用是什么呢？

答案我相信很多人从进入通信专业的时候就很清楚。那就是完成信号从时域至频域的转换。 变换在数理上的解释就是不改变原始数学算式的特征。因此，傅里叶变换只是一种工具，让我们从一个新的角度（频域）来看待信号。

而频谱（幅度谱）非常直观的解释就是，需要多少个频率为多少的正弦信号才能够叠加出原始信号，而正弦信号的个数就是对应频率的幅值。

由上可知，连续时间傅里叶变换完整的存续了时域信号的能量。然而，这也带来了一个致命的缺点，并不是所有信号都是收敛的，如果输入信号本身是发散的那么，傅里叶变换将不再成立。因为，发散信号无法在无穷区间上积分。

这个时候，收敛因子e^-at
被引入a为实数，因此傅里叶变换自此处变为了f(t)乘以e^-(a+jw)t用s代替则变为e^-s我们将这个时候的频域称之为s域。而当s=jw即a=0在s平面的虚轴的时候拉普拉斯变换则又变回了傅里叶变换。因此，我们可以自由地选择合适的a值控制拉普拉斯变换收敛，而使得拉普拉斯变换收敛的s的集合则被称之为拉普拉斯变换收敛域。

离散情况下，Z变换被用于代替拉普拉斯变换。
Z变换的实际就在与Z=re^jw 因此Z变换写为输入信号x[n]Z^-n在无穷区间上求和（离散求和即连续累乘即积分）。显然这个时候r^-n成为了离散情况下的收敛因子。同样的，在Z变换中使得Z变换收敛的所有Z的集合称之为Z变换收敛域。值得注意的是，拉普拉斯变换收敛域是带状的而Z变换的收敛域则是环状的。当r=1的时候，Z变换就变成了离散时间傅里叶变换，正对应着当a=0也就是s域上的虚轴，拉普拉斯变换变成连续时间傅里叶变换一样。

所以，Z变换的单位圆具有与拉普拉斯变换中的虚轴相同的意义。

关于离散傅里叶变换

前面提到了离散时间傅里叶变换，其实离散傅里叶变换就是有限长度的离散时间傅里叶变换，一般记长度为N，因此又称之为N点傅里叶变换。这一过程主要是为了方便在电脑中处理实际工程中的信号。毕竟，电脑处理的是离散数据。

此外，Z变换作为拉普拉斯变换的离散形式，必然与离散时间傅里叶和离散傅里叶变换有千丝万缕的关系，我们也可以解释为离散傅里叶变换DFT即相当于在Z变换的单位圆上以1/N的频率等间隔采样，为什么是在Z变换的单位圆上呢？因为，Z在Z域单位圆上取值的时候，Z变换也就变成了离散时间傅里叶变换。换句话说也就离散时间拉普拉斯变换变成了离散时间傅里叶变换。

后记

本文章仅作者个人理解，如有纰漏敬请理解。通篇文章比较抽象脱离了公式推导，希望用各变换之间的关系来梳理理解这些对于信号处理至关重要的公式。