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离线BZOJ好啊

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• OS Linux

解题思路

根据标签可知，这题要用线段树维护。

裸的想法

线段树上每个点都是一个线性基，这个线段树就维护时间轴。对于时间轴上的某一点，线段树维护的是这个点时可用的数字构成的线性基。我们可以在取出某个数字的时候，将它加到线段树上对应的时间段。但是会发现pushdown和pushup极慢，而且很不方便，于是标记永久化（我再这题才第一次使用标记永久化这个科技），在查询的时候统计标记。实测下来，20个点里有一半的数据量达到最大值。这个思路在大些的这一半测试点上，占用内存约148MB，耗时2s左右，20个点全部跑下来需要20s，于是显然MLE了，要不是BZOJ只看总时间，那还TLE了。下面这个是使用传统的线性基的MLE代码——

#include<map>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>const int MAXN=5e5+3;
const int wide=31;int n;
int last[MAXN];//记录上一个被插入的相同的数字的时间戳
std::map<int,int> mp;//查询该数被上一次加入的时间戳struct Linear{//codelfint p[33]={0};void insert(int x){for(int i=wide;~i;i--){if((x>>i)&1){if(p[i]) x^=p[i];else { p[i]=x; return; }}}}int quemx(){int ans=0;for(int i=wide;~i;i--)ans=std::max(ans,ans^p[i]);return ans;}void add(const Linear & s)//合并一个线性基进来  //希望这种引用能加速传参，防止传参传一整个结构体……目前还不知道可不可行，留坑，啥时候问问{for(int i=wide;~i;i--){if(s.p[i]) insert(s.p[i]);}}
};Linear t[MAXN<<2];//线段树
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{if(ql<=l&&r<=qr){t[x].insert(k);return;}int mid=l+r>>1;if(ql<=mid) update(x<<1,l,mid,ql,qr,k);if(qr>mid) update(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,k);
}void queans(int x,int l,int r,Linear sum)//遍历整棵树，输出答案
{sum.add(t[x]);//收集标记if(l==r){printf("%d\n",sum.quemx());return;}int mid=l+r>>1;queans(x<<1,l,mid,sum);//先序遍历保证输出答案的顺序queans(x<<1|1,mid+1,r,sum);
}int main()
{//freopen("test.in","r",stdin);scanf("%d",&n);for(int i=1,a;i<=n;i++){scanf("%d",&a);if(a<0){update(1,1,n,mp[-a],i-1,-a);mp[-a]=last[mp[-a]];}else{if(mp.find(a)!=mp.end()) last[i]=mp[a];//上一次出现的位置else last[i]=0;mp[a]=i;//记录加入的时间戳}}std::map<int,int>::iterator it;for(it=mp.begin();it!=mp.end();it++){if(it->second){update(1,1,n,it->second,n,it->first);}}Linear temp;queans(1,1,n,temp);return 0;
}

优化一下线性基的储存

（思路来源）实测那个博主的代码跑大的测试点时内存约72MB，时间都在2.3s左右。内存少了一半。

可以想象，由于标记永久化和区间长度不大，线段树上那些线性基，会有很多空行，有些线性基甚至是全空的，于是弃用固定长度为33的int数组表示每一个线性基，换用变长数组vector。这样的线性基，数组下标为\(i\)的那一个向量，最高位的1就不一定在从右向左第\(i\)位上了。换句话说，这种新的线性基，可以看成把原来那种线性基里的0向量全部去掉，剩下的全是非0向量。

从思路来源那个链接里学到了新的线性基插入方法，可以在这种变长数组的情况下插入元素——依然从高到低（从大到小）扫描线性基中已有的向量\(p[i]\)，和想要插入的元素\(x\)对比，如果\((x \text^ p[i])<x\)，即异或上\(p[i]\)能够减小\(x\)，那么就把\(x\)异或上\(p[i]\)。扫描完现有线性基，x和每一个向量都进行比较之后，如果\(x\)为0，说明插入失败或者说不用插入，否则就把\(x\)给push_back进线性基里，然后类似选择排序，把\(x\)移动到合适的位置，以保持线性基里的数字是递增的。

结合代码看一下这个过程——

std::vector<int> p;
void insert(int x)
{for(int i=p.size()-1;~i;i--)if((p[i]^x)<x) x^=p[i];if(x){p.push_back(x);for(int i=p.size()-1;i;i--){if(p[i]<p[i-1]) std::swap(p[i],p[i-1]);}}
}

我来尝试说明一下，两种处理\(x\)的方法是等效的。

回忆一下传统的线性基里，向量\(p[i]\)如果是非零向量，那么其二进制第\(i\)位（同时也是其最高位）一定是1，换句话说，线性基里的所有行向量的最高位1一定排在线性基组成的01矩阵的主对角线上。

我们在传统线性基中插入数字\(x\)时，如果\(x\)第\(i\)位是1，那么就让\(x\)异或上\(p[i]\)，使\(x\)在这一位的1被去掉。由于从高到低处理，所以\(x\)在这个过程被处理的总是最高位，最高位总是不断向后退，\(x\)总是变小。这个过程持续到\(x\)变为0，或者发现线性基里没有这一位为1的向量，无法把\(x\)最高位清零，于是就把\(x\)塞到这个位置，\(x\)的最高位1现在依然在主对角线上。

在压缩过的线性基里插入数字\(x\)，依然从高到低扫。如果向量\(p[i]\)能够减小\(x\)，那就两种情况——

• p[i]的最高位和x的最高位位置一致

  • 这种大概就是传统线性基里的操作了吧，将x的当前最高位清零，x肯定变小了。

• p[i]的最高位低于x的最高位

  • 出现这种情况，说明比p[i]大的那些向量都没能把x的当前最高位清零，那么p[i]和比p[i]小的向量更不可能清零x的当前最高位了，x能加入线性基是石锤了。这时候x^=p[i]，让x变成了x^p[i]，仅只是通过清零了x的一部分低位，让x减小，对x的最高位没有影响。这时直接将\(x\)push_back进去得到的新线性基，和将\(x\)处理到最后一个向量p[i]再push_back得到的线性基是等价的。所以可以及时break出来，剩下那些更小的向量都不用看了。思路来源 没有及时break，所以这里还可以继续优化一下——

    std::vector<int> p;void insert(int x){for(int i=p.size()-1;~i;i--){if((p[i]^x)<x) x^=p[i];else if(p[i]<x) break;//加了这行}if(x){p.push_back(x);for(int i=p.size()-1;i;i--)if(p[i]<p[i-1])std::swap(p[i],p[i-1]);}}

    最慢的点2.25s，其他大的测试点基本2.13s，差不多优化了0.2s，感觉效果还是挺好的。

• p[i]的最高位不可能高于x的最高位，那样不能减小x。

另外两种优化思路

• yyb博客

  大的测试点69MB、1.7s

  首先是使用了快读。

  在处理输入数据时使用sort、unique、lower_bound这套进行离散化，而不用速度慢的map。

  把线段树上的节点从线性基换成vector，更新区间时直接将数字push_back进对应线段树节点的vector里，而不是把数字塞进几个线性基。

  查询时收集标记是这么做的：把当前节点vector里的数字全部取出来塞到用于统计永久化标记的线性基里。

  线性基多存一个变量，统计线性基内非零向量的数量，如果当前线性基向量数量已经达到32，就及时return。乍一看这个优化是最关键的，能十分有效地避免前面几个优化的缺点，但实测去掉这个优化还是1.7s…………

• claris博客

  emmm……还没看懂，内存45MB左右，大的测试点耗时1.3s。。。orz…

现在这个todolist又多了一个√

• [x] CodeForces 1100F Ivan and Burgers 单纯询问区间异或最大值
• [x] HDU 6579 Operation 多了个末尾插入数据的操作，还有强制在线
• [x] BZOJ 4184 shallot 这题要支持插入和删除的操作，询问是整个序列。居然是权限题……本地测一下算了。
• [ ] UVALive 8514 XOR 2017ICPC西安的一道题，询问区间异或值或上k的最大值

源代码

#include<map>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<algorithm>const int MAXN=5e5+3;
const int wide=31;int n;
int last[MAXN];//记录上一个被插入的相同的数字的时间戳
std::map<int,int> mp;//查询该数被上一次加入的时间戳struct Linear{//codelfstd::vector<int> p;void insert(int x){for(int i=p.size()-1;~i;i--)if((p[i]^x)<x) x^=p[i];if(x){p.push_back(x);for(int i=p.size()-1;i;i--){if(p[i]<p[i-1]) std::swap(p[i],p[i-1]);}}}int quemx(){int ans=0;for(int i=p.size()-1;~i;i--)ans=std::max(ans,ans^p[i]);return ans;}void add(const Linear & s)//合并一个线性基进来{for(int i=s.p.size()-1;~i;i--){if(s.p[i]) insert(s.p[i]);}}
};Linear t[MAXN<<2];//线段树  //不存l、r，初值全部为0，就不build了
void update(int x,int l,int r,int ql,int qr,int k)
{//不用复制父亲的，也不用下传给儿子，只因标记永久化，询问答案时用一个参数统计就好if(ql<=l&&r<=qr){t[x].insert(k);return;}int mid=l+r>>1;if(ql<=mid) update(x<<1,l,mid,ql,qr,k);if(qr>mid) update(x<<1|1,mid+1,r,ql,qr,k);
}void queans(int x,int l,int r,Linear sum)//遍历整棵树，输出答案
{sum.add(t[x]);if(l==r){printf("%d\n",sum.quemx());return;}int mid=l+r>>1;queans(x<<1,l,mid,sum);//先序遍历保证输出答案的顺序queans(x<<1|1,mid+1,r,sum);
}int main()
{//freopen("test.in","r",stdin);scanf("%d",&n);for(int i=1,a;i<=n;i++){scanf("%d",&a);if(a<0){update(1,1,n,mp[-a],i-1,-a);mp[-a]=last[mp[-a]];}else{if(mp.find(a)!=mp.end()) last[i]=mp[a];//上一次出现的位置else last[i]=0;mp[a]=i;//记录加入的时间戳}}std::map<int,int>::iterator it;for(it=mp.begin();it!=mp.end();it++){if(it->second){update(1,1,n,it->second,n,it->first);}}Linear temp;queans(1,1,n,temp);return 0;
}