[益智]：从高楼抛玻璃球，用什么最优策略得到临界层？

题目描述

有一栋100层高的大楼，给你两个完全相同的玻璃球。假设从某一层开始，丢下玻璃球会摔碎。那么怎么利用手中的两个球，用什么最优策略知道这个临界的层是第几层？？？

题目解答

方法一：

只用1个球就可以了，从2楼开始扔，如果直接摔碎，说明1层是最优解；没碎的话就一直扔，直到球从第x层扔下破碎，所以临界层就是x-1层。

在最坏情况下，这个方法需要扔100次。

方法二：

采用类似于二分查找的方法，把鸡蛋从一半楼层（50层）往下扔。
如果第一枚鸡蛋，在50层碎了，第二枚鸡蛋，就从第1层开始扔，一层一层增长，一直扔到第49层。
如果第一枚鸡蛋在50层没碎了，则继续使用二分法，在剩余楼层的一半（75层）往下扔…

这个方法在最坏情况下，需要尝试50次。

方法三：

每次肯定是由低的楼层往高的楼层尝试，直到在楼层f(k)，第一个球已经碎掉了，记录上一个尝试的楼层为f(k-1),在此楼层，玻璃球不会碎，所以接下来要尝试 f(k-1)+1,f(k-1)+2,f(k-3)+3, …,直到有一个楼层碎了，这个楼层就是解啦，最坏的是到达f(k)-1 层。（核心思想）

所以可以进行区间的划分：划成10份。（1份10个），最多也就是扔不到20次。

最好情况是在第10层碎掉，尝试次数为 1 + 9 = 10次。
最坏的情况是在第100层碎掉，尝试次数为 10 + 9 = 19次。

不过，这里有一个小小的优化点，我们可以从15层开始扔，接下来从25层、35层扔…一直到95层。

这样最坏情况是在第95层碎掉，尝试次数为 9 + 9 = 18次。

方法四：（最优）

既然第一步（确定临界段）的投掷数增加不可避免，我们就让第二步（确定临界层）的投掷数随着第一步的次数增加而减少。第一步的投掷数是一次一次增加的，那就让第二步的投掷数一次一次减少。

假设第一次投掷的层数是f，转化成数学模型，f+(f-1)+…+2+1就表示从f开始猜，每次的增量都比前一次的曾量减1的情况下，最后猜的那个数（即 f+(f-1)+…+2+1 ），按照提议要求f+(f-1)+…+2+1>=99，即f(f+1)/2>=99(第一次测试点选择100层是无意义的，必然会碎，所以无任何测试价值，所以第一次测试点f是1-99中的一个数)，解出结果等于14。丢下第一颗鸡蛋的楼层就分别是 14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 。

前面为什么是f+(f-1)+…+2+1>=99？首先是分段确定临界段，保证不管玻璃球在哪一个临界段碎掉进行判断的次数都是一样的，所以就需要从下到上每一个段比上一个段的长度少1，同时所有段的长度总和是99（不需要是100 因为如果前面都没碎那么就一样时100了，也不需要在判断了）。

分析：

假设最优的尝试次数的x次，为什么第一次扔就要选择第x层呢？
这里的解释会有些烧脑，请小伙伴们坐稳扶好：

假设第一次扔在第x+1层：

如果第一个玻璃球碎了，那么第二个玻璃球只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x层。
这样一来，我们总共尝试了x+1次，和假设尝试x次相悖。由此可见，第一次扔的楼层必须小于x+1层。

假设第一次扔在第x-1层：

如果第一个玻璃球碎了，那么第二个玻璃球只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-2层。
这样一来，我们总共尝试了x-2+1 = x-1次，虽然没有超出假设次数，但似乎有些过于保守。

假设第一次扔在第x层：

如果第一个玻璃球碎了，那么第二个玻璃球只能从第1层开始一层一层扔，一直扔到第x-1层。
这样一来，我们总共尝试了x-1+1 = x次，刚刚好没有超出假设次数。

因此，要想尽量楼层跨度大一些，又要保证不超过假设的尝试次数x，那么第一次扔鸡蛋的最优选择就是第x层。

首次选择14，那么最高可以判断到呢，按照上面的递减数列，14 ， 27 ， 39 ， 50 ， 60 ， 69 ， 77 ，84 ， 90 ， 95 ， 99 ，102，104，105。一共是14次，最后是到105了，按照上面99和100的分析，虽然是14次猜，但是最后一个猜到了105，可知如果105还是不碎的话，那么肯定是106，106是铁定的了，不用猜了就知道，所以14次最大可以判断到106，这样15次的话就要从105开始猜，并且如果107层的话，那么需要15次。

比如到27层，玻璃碎了，则要从15开始一层一层的尝试，比如26是解的话，那么猜的序列就是 14，27，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，一共14次。

备注：

这题一开始没看懂，一直在想为什么不能用二分法，二分法不是最多7次就可以搞定了吗，然后想了一会才意思到这题说的两个玻璃球是指，你最多只能用两个玻璃球来判断玻璃球碎掉临界的楼层，如果用二分法，第一步在50楼一扔碎掉了那么你这时候就糟了，你只能从第一层开始扔了，要进行50次判断，（如果你接着再在25扔，最后一颗玻璃球再碎掉你就没有球可以用了）所以二分法在这里并不好。

这时我们只能像上面一样想用第一颗球去确定一个区间，然后在区间内从区间底部网上进行判断就可以了