在自动驾驶中，很常见的一个问题是通过离散点计算曲率，奇怪的是网上居然找不到我需要的资料，也许是我描述的不对，总之找了很久都不是很满意，所以干脆自己来总结一下吧。

网上也不是找不到资料，但是大部分都是这样：

(1)通过

曲率公式，首先你要知道曲线的表达式，然后代入公式计算。

(2)离散点也需要先polyfit拟合成多项式，再利用上面的公式计算曲率。

(3)在matlab中，用csape()对离散点进行Spline插值，然后用fnder()对得到曲线求导，最后用fnval()对导数求值即可。

(4)通过标量

公式，计算曲率。

(5)三个点外接圆：

但是三个点计算，不好推广。

总之以上的一些方法都不直接，拐弯抹角计算曲率，曲率直接理解就是角度变化率，近似对应于曲率半径的倒数，利用一串点鲁棒的计算对应的曲率就应该很简单才对，不要什么拟合多项式再代公式求曲率，简直是隔靴搔痒、舍本逐末。这里我总结一种直观的方法，抛砖引玉：

1. 离散点拟合圆

曲率的倒数就是半径，那我先拟合圆，知道半径也就知道曲率了，圆的拟合可以使多个点，拟合也有足够的鲁棒性。

用圆的展开公式：

。圆心为

,圆的半径就是

 。

误差方程为：

        对于自变量a、b、c求偏导为0：

得到：

为了直观和看代码方便，我们假设

上式可以描述为：

通过矩阵知识可以解出：

void FitCenterByLeastSquares(std::vector mapPoint, Point3D &centerP, double &radius) {

double sumX = 0, sumY = 0;

double sumXX = 0, sumYY = 0, sumXY = 0;

double sumXXX = 0, sumXXY = 0, sumXYY = 0, sumYYY = 0;

int pCount = mapPoint.size();

for (int i = 0; i

sumX += mapPoint[i].x;

sumY += mapPoint[i].y;

sumXX += pow(mapPoint[i].x,2);

sumYY += pow(mapPoint[i].y,2);

sumXY += mapPoint[i].x * mapPoint[i].y;

sumXXX += pow(mapPoint[i].x,3);

sumXXY += pow(mapPoint[i].x,2) * mapPoint[i].y;

sumXYY += mapPoint[i].x * pow(mapPoint[i].y,2);

sumYYY += pow(mapPoint[i].y,3);

}

double M1 = pCount * sumXY - sumX * sumY;

double M2 = pCount * sumXX - sumX * sumX;

double M3 = pCount * (sumXXX + sumXYY) - sumX * (sumXX + sumYY);

double M4 = pCount * sumYY - sumY * sumY;

double M5 = pCount * (sumYYY + sumXXY) - sumY * (sumXX + sumYY);

double a = (M1 * M5 - M3 * M4) / (M2 * M4 - M1 * M1);

double b = (M1 * M3 - M2 * M5) / (M2 * M4 - M1 * M1);

double c = -(a * sumX + b * sumY + sumXX + sumYY) / pCount;

//圆心XY 半径

double xCenter = -0.5 * a;

double yCenter = -0.5 * b;

radius = 0.5 * sqrt(a * a + b * b - 4 * c);

centerP.x = xCenter;

centerP.y = yCenter;

}

2. 计算正负号

通过上面我们计算出圆的半径，倒数就是曲率，那么曲率的正负号呢？这里我们也需要一种方法优雅的计算它的正负号，不然有失风度，目前我能给出的方法是直线与圆心的关系：

计算起始点与终点的直线，判断该直线与圆心的关系从而判断曲率的正负号，又因为前面已经计算了很多最小二乘法的中间变量，要是不用也可惜了，干脆拟合直线算了：

类似的误差方程：

   偏导为0得到：

和

联立解方程得到：

      最后把圆心代入方程判断正负即可。

这里给出新加的代码，只需要在原来的基础上只要加3行代码即可，基本上还算优雅吧：

//计算曲率正负号

a = (sumXY-((sumX*sumY)/pCount))/(sumXX-(sumX*sumX/pCount));

b = (sumY-a*sumX)/pCount;

centerP.z = (xCenter*a+b