卷积层

卷积神经网络中，最重要的就是卷积层，它负责从图片中提取特征信息。
先考虑一种最为简单的图片，一张二维的图片，那么卷积核也是二维的。

卷积运算

听上去挺高大上的，实际上就是乘积的求和。
举个例子：
假设图片是这样的

1	2	4
3	5	4

卷积核是

6	1
4	4

那么卷积运算的结果就是：
6×1+1×2+4×3+4×5=406×2+1×4+4×5+4×4=526\times 1+1\times 2 + 4\times 3 + 4\times 5 =40 \newline 6\times 2 + 1\times 4 + 4\times 5+4\times 4 =52 6×1+1×2+4×3+4×5=406×2+1×4+4×5+4×4=52

填充

通过上面简单的例子，不难发现，在经过卷积运算之后，矩阵的大小变化了。这样就会带来一个严重的问题，当不断进行卷积运算后，图片越来越小，以至于最后无法进行卷积运算。
为了解决这个问题，我们希望在进行卷积运算之后，图片的大小不发生改变，这个时候就需要往图片的边缘填充相应的值。

矩阵大小

往图片边缘填充多少，这与卷积核的大小密切相关。那么这个大小变化是否存在关系呢。答案是肯定的。
不妨设H，WH，WH，W表示原来矩阵的长和高，OH，OWOH，OWOH，OW表示经过卷积运算结果的长、高，FH，FWFH，FWFH，FW表示卷积核的长、高，PPP表示填充，SSS表示步幅。
OH=H+2⋅P−FHS+1OW=W+2⋅P−FWS+1OH =\frac{H + 2\cdot P - FH}{S}+1 \newline OW = \frac{W + 2\cdot P - FW}{S}+ 1 OH=SH+2⋅P−FH+1OW=SW+2⋅P−FW+1

代码实现

卷积运算的原理非常简单，而且代码实现也非常简单。
通过几个for循环就可以轻松解决，但是还有更高效的方法。
我们可以将图片中对应同一个卷积核的数字变为一行，将卷积核变为一列。然后运用矩阵乘法，就可以完美实现卷积运算，而且一次矩阵乘法就可以算出整张图片的结果。
具体如何变为一行，代码已经在下面给出。

def im2col(input_data, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):"""Parameters----------input_data : 由(数据量, 通道, 高, 长)的4维数组构成的输入数据filter_h : 滤波器的高filter_w : 滤波器的长stride : 步幅pad : 填充Returns-------col : 2维数组"""N, C, H, W = input_data.shapeout_h = (H + 2*pad - filter_h)//stride + 1out_w = (W + 2*pad - filter_w)//stride + 1img = np.pad(input_data, [(0,0), (0,0), (pad, pad), (pad, pad)], 'constant')col = np.zeros((N, C, filter_h, filter_w, out_h, out_w))for y in range(filter_h):y_max = y + stride*out_hfor x in range(filter_w):x_max = x + stride*out_wcol[:, :, y, x, :, :] = img[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride]col = col.transpose(0, 4, 5, 1, 2, 3).reshape(N*out_h*out_w, -1)return coldef col2im(col, input_shape, filter_h, filter_w, stride=1, pad=0):"""Parameters----------col :input_shape : 输入数据的形状（例：(10, 1, 28, 28)）filter_h :filter_wstridepadReturns-------"""N, C, H, W = input_shapeout_h = (H + 2*pad - filter_h)//stride + 1out_w = (W + 2*pad - filter_w)//stride + 1col = col.reshape(N, out_h, out_w, C, filter_h, filter_w).transpose(0, 3, 4, 5, 1, 2)img = np.zeros((N, C, H + 2*pad + stride - 1, W + 2*pad + stride - 1))for y in range(filter_h):y_max = y + stride*out_hfor x in range(filter_w):x_max = x + stride*out_wimg[:, :, y:y_max:stride, x:x_max:stride] += col[:, :, y, x, :, :]return img[:, :, pad:H + pad, pad:W + pad]

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