Hello 莫队----莫队算法小结

跟风学莫队，发现竟不会。博客一大堆，不知该看谁。

刚开始要学习莫队的时候发现那么多的博客，真有乱花渐欲迷人眼的感觉，后来觉得不妨看看集训队的论文，才发现根本找不到，说是10-13年是作业的形式，根本没发表论文，那就只好一篇篇的去浏览，找到适合自己的。研究良久，觉得是时候对莫队做一波总结了。

首先明白莫队可以解决的问题：区间问题
类似这种：有n个数的整数数列，给出区间[l,r]，求[l,r]中的计数问题，特点就是数组是静态的，但是动态查询。其他数据结构可以维护，但是有的时间复杂度太大，有的代码冗杂，莫队应运而生。

莫队的实现：可以在O(1)的时间内把[l,r]的询问转移到[l-1,r],[l+1,r],[l,r-1],[l,r+1]的询问，而且不需要修改操作，此时可以使用莫队算法来解决此问题。

首先以求[l,r]之间的出现次数为k次的数的个数为例，正常暴力的想法是每次跑一次[l,r]，然后不超时算我输。这里做一个假设，假设区间[l,r]的答案已经得到，求[l`,r`]的答案，利用指针偏移的思想，让l去找l`,让r去找r`，这样得到时间复杂度是 $|l-l`|+|r-r`|$ 的算法，然后这可以看作点P(l,r)到点P`(l`,r`)的曼哈顿距离，然后对于所有m次询问，求一个最小生成树就是最理想的答案。这种算法叫最优曼哈顿距离生成树，为什么要介绍这个，因为要体现莫队的优越性啊，首先这样时间耗时是O(n^2*logn)，m询问次数接近于n，故用n表示，然后代码长度可想而知，在已经区间[l.r]的基础上，引出莫队。

莫队的核心：分块，为什么要分块？假设已知区间[l.r]的解，正常情况的话最优的优化是曼哈顿生成树，但是，如果将序列分块的话，会发现意想不到的惊喜。已知[l,r]，易得[l-1,r],[l,r+1],[l,r-1],[l-1,r-1]，将所有的块进行排序，按左端点排序，若是左端点相同，就按右端点排序。然后去求解，类似于上面的算法，用两个指针去解决，要是所求区间在当前分块内，只需要移动右指针，此时的时间复杂度最大是O(n),因为是按照左端点和右端点两个关键字排序，所以右指针显然是递增的，即O(n)，然后若是不在当前区间内，就移动左指针，左指针也是有序的最多进行分的块数次，通常分块会取 $\sqrt{n}$ 次，得到总的时间复杂度 $O(n*\sqrt{n})$ ,也就是通常所说的n的1.5次幂，莫队算法结束。

不难发现此算法的优点就是代码量少，而且时间复杂度可以接受，用通俗的语言再讲一下莫队的实现：将整个区间分块，分块后将所有的查询进行排序，将查询的区间不断移动，无非是左右指针的移动，最后得到每一次查询的答案，按照查询的顺序，输出答案。This is 神奇的莫队，This is 号称解决一切区间问题的莫队。

拿个例题说明一下： BZOJ 2038 小Z的袜子(hose)
这是引出莫队算法的题目，也是最基础最能说明莫队的题目。分析此题的答案由两部分组成，分母部分是区间的长度的平方(不考虑组合，只考虑排列),分子是所有满足条件的平方和，考虑枚举区间，维护一个ans值，用一个数组去记录当前每种颜色出现的次数，首先是左指针右移，出现的结果就是某种颜色的值-1，不妨先把所有这种颜色的贡献都减去，然后更新这种颜色的贡献，最后都加上，得到ans值，最后ans值减去区间的长度就是分子，分母就是区间长度的平方。由于此题网上题解众多，此处就不多赘述，建议自己写一下，体会一下莫队的神奇。

代码实现：

/*
Look at the star
Look at the shine for U
*/ #include<bits/stdc++.h>
#define sl(x) scanf("%d",&x)
#define PII pair<ll,ll>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+5;
const ll mod = 1e9+7;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
struct node{int l,r,index;ll x,y;
}p[N];
ll sum[N],ans;
int s[N],cnt,num[N];
bool cmp(node a,node b) {return num[a.l] == num[b.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l;}
bool CMP(node a,node b) {return a.index < b.index;}
void update(int x,int add)
{ans -= sum[s[x]]*(sum[s[x]]);sum[s[x]] += add;ans += sum[s[x]]*(sum[s[x]]);
}
int main()
{int n,m,i,j,k;sl(n);sl(m);cnt = pow(n,0.57);for(i = 1;i <= n;i++) sl(s[i]),num[i] = i/cnt+1;for(i = 1;i <= m;i++) sl(p[i].l),sl(p[i].r),p[i].index = i;sort(p+1,p+1+m,cmp);int l = 1,r = 0;for(i = 1;i <= m;i++){while(l < p[i].l) update(l,-1),l++;while(l > p[i].l) update(l-1,1),l--;while(r < p[i].r) update(r+1,1),r++;while(r > p[i].r) update(r,-1),r--;if(p[i].l == p[i].r){p[i].x = 0;p[i].y = 1;continue;}p[i].x = ans-(p[i].r-p[i].l+1);p[i].y = 1ll*(p[i].r-p[i].l+1)*(p[i].r-p[i].l);ll gcd = __gcd(p[i].x,p[i].y);p[i].x /= gcd;p[i].y /= gcd; }sort(p+1,p+1+m,CMP);for(i = 1;i <= m;i++) printf("%lld/%lld\n",p[i].x,p[i].y);
}

异或序列 思维莫队
题意是给定一堆数，给出m次询问，问[l,r]之间，有多少个子区间的抑或和等于k。

此题要考虑如何在区间移动的过程中保证答案的正确性，根据异或的性质：a^b = c 即有a^c = b, b^c = a。推广到pre的异或,和，pre[i-1]^pre[i] = k, 即有 pre[i-1]^k = pre[i], pre[i-]^k = pre[i-1]。这样就可以在区间移动的过程中维护答案了。

代码实现：

/*
Look at the star
Look at the shine for U
*/ #include<bits/stdc++.h>
#define sl(x) scanf("%d",&x)
#define PII pair<ll,ll>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6+5;
const ll mod = 1e9+7;
const ll INF = 0x3f3f3f3f;
struct node{int l,r,index;ll ans;
}p[N];
ll sum[N],ans;
int s[N],cnt,num[N],n,m,k;
bool cmp(node a,node b) {return num[a.l] == num[b.l] ? a.r < b.r : a.l < b.l;}
bool CMP(node a,node b) {return a.index < b.index;}void update(int x,int add)
{if(!add){sum[s[x]]--;ans -= sum[s[x]^k];}else{ans += sum[s[x]^k];sum[s[x]]++;}
}int main()
{int i,j;sl(n),sl(m);sl(k);cnt = pow(n,0.57);for(i = 1;i <= n;i++) sl(s[i]),num[i] = i/cnt+1,s[i] ^= s[i-1];for(i = 1;i <= m;i++) sl(p[i].l),sl(p[i].r),p[i].index = i;sort(p+1,p+1+m,cmp);int l = 1,r = 0;sum[0] = 1;for(i = 1;i <=m;i++){while(l < p[i].l) update(l-1,0),l++;while(l > p[i].l) l--,update(l-1,1);while(r < p[i].r) update(++r,1);while(r > p[i].r) update(r--,0);p[i].ans = ans;}sort(p+1,p+1+m,CMP);for(i = 1;i <= m;i++) printf("%lld\n",p[i].ans);
}

通过以上两个题可以发现，莫队的关键是找到区间移动事维护答案的状态，即找到计数数组，并在区间移动的时候维护答案，技巧性比较大，所以还是多做题，熟能生巧。

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