KMP算法原理描述，告诉你为什么要“j = next[j]”

研究KMP算法的起因，是在刷leetcode的 214.最短回文串时，一开始使用了 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)时间复杂度的暴力算法，结果在一条 n = 40000 n=40000 n=40000的测试数据上超时了，后来在题解的启发下，用了KMP算法双95%+成功过了该题。但是在用KMP算法的时候，对于next数组的计算方式，尤其是回退的那一步始终没想明白，看了许多博客也没有描述清楚，当初上课学习KMP算法的时候对这块就是一知半解，今天花了点时间，终于算是把最令人困惑的"j = next[j]"这里搞清楚了。

0. KMP算法简介

KMP 算法是一种字符串匹配算法，D.E.Knuth、J,H,Morris 和 V.R.Pratt 共同提出的，称之为 Knuth-Morria-Pratt 算法，简称 KMP 算法。该算法相对于暴力算法的最核心优化点是在匹配过程中，通过某些规则移动模式串指针，使得主串指针可以保持不回退，从而提升匹配效率。

1. 暴力算法的缺陷

在暴力算法中，当主串的某一段与模式串的前i-1位相同，但第i位不同时，本次匹配失败。模式串会向后移动一位、指针回退到0，而主串的指针也会回退到与模式串首位相同的位置上，如下图所示：

每次主串指针都会回退到上一次开始地方的后一位，模式串的指针也会回退到0，这样的时间复杂度是 O ( m ∗ n ) O(m * n) O(m∗n)。

2. KMP算法的核心概念：最长公共前缀子串

当一次匹配失败后，我们每次将模式串右移一位，并且将主串和模式串的指针全部回溯，其实是浪费了我们在本次匹配中已经发现的一些经验。考虑下面的一种情况：

如图，在这种情况下，我们可以将原来模式串头部深绿色的部分，挪动到模式串没有匹配成功的红色前面的深绿色部分去，这样主串的指针就不用回退了，模式串的指针也不再需要回退到开头的位置了。

模式串中，重复的两个深绿色的部分具有这样的特点：
1. 第一个深绿色的部分，从模式串的头部开始。为什么是从模式串的头部开始？因为我们要保证，模式串右移后，和主串仍有一部分是匹配的，我们可以从模式串的这个前缀后面继续判断，这是模式串指针不需要回退到开头的原因；
2. 第二个深绿色的部分，以模式串当前未匹配成功的位置为结尾。为什么是以模式串当前未匹配成功的位置为结尾？因为只有这样，当我们右移模式串，使得这两个深绿色的部分“重合”之后，我们仍可以从主串出错的位置（红色部分）和模式串（第一个深绿色部分后的下一个字符）进行匹配，这是主串指针不需要回退的原因。

至此，KMP算法的核心概念已经呼之欲出了：深绿色的部分，就是浅绿色部分的“最长公共前缀子串”。“公共”，代表着两个深绿色部分的内容相同；“前缀”，代表着从模式串的头部开始。

3. 恼人的“next数组”

你可能已经意识到了，“最长前缀公共子串”和主串无关，它完全是模式串的一个属性。而KMP算法求“最长前缀公共子串”的方法，使用的就是“next数组”的概念，这个也是大多数人在学习KMP算法上面最大的一个坎。next数组的概念如下：

next[i] = j，即模式串的前i个字符组成的字符串中，最长前缀公共子串的长度为j。

是不是有点困惑？看看下面的例子：

在上一个例子中，next数组元素的值分别为：

next[0] = 0;
next[1] = 0;
next[2] = 0;
next[3] = 0;
next[4] = 1;
next[5] = 2;
next[6] = 0;

再抽象一点，next数组的含义是这样的：

emmm，与其叫它”next“数组，还不如叫它”最长公共子串前缀长度数组“呢。。。

那么问题来了，怎么求这个next数组呢？

根据我们前面分析的next数组的定义，可以找到下面的规律：

如果新加入的字符与前一个最长公共前缀子串的后一个字符相同：

这里的深绿色部分长度是可以为0的，对后面计算没有影响。

这种情况下，很简单，next[i] = next[i-1] + 1。这个很好理解，相信大家一看就能想到。
如果新加入的字符与前一个最长公共前缀子串的后一个字符不同：
很多人看KMP算法就是卡在了这一步上，我最开始看的时候也是对这个地方百思不得其解，在其他人的代码中，那个最让人头痛的回退操作——j = next[j]，就是在这里出现的。为了说明白这个问题，我们看下这张图：

在这种情况下，原来的深绿色部分就不能用了，显然，我们要缩小深绿色的部分，还要满足最长公共前缀子串的要求，也就像下面这个样子：

这个蓝色的部分怎么求呢？这就是很多博客和代码里面没有说清楚的，最让人头痛的回退操作，就是那个臭名昭著的”j= next[j]“。
我们换一种理解方式，这个蓝色的部分，首先要内容相同，其次还要位于深绿色部分的开头和结尾，这不就是深绿色部分的最长公共前缀子串吗？

也就是这样：

更新j = next[j]后，又回到这个问题的起点了，然后再次判断s[i-1]和s[j]是否相同就可以了。
至此，我们终于搞懂那个让人费解的回退操作到底是什么意思了，其实就是在当前的公共前缀已经不能用了，那就继续去尝试这个公共前缀的公共前缀，一直试到成功或者公共前缀的长度为0时为止。

4. Java实现

最后贴个Java实现代码。注意模式串长度小于2就没有必要用KMP了，这里简单先不考虑了，要抄代码的话记得检查，小心数组越界哦：

/*** 模式串长度小于2就没有必要用KMP了，这里简单先不考虑了，要抄代码的话记得检查，小心数组越界哦
*/
private int[] getNext(String s) {int[] next = new int[s.length()];//前0个字符，肯定没有最长公共前缀子串next[0] = 0;//前1个字符，那也没有嘛next[1] = 0;//上一个最长公共前缀子串长度int subPublicPreSubStrLength = 0;for (int subStrLength = 2; subStrLength < s.length(); ) {//需要求前i个字符组成的字符串中的前缀子串，这个是新加入尾部的字符char addedSubStrChar = s.charAt(subStrLength - 1);//位于最长公共前缀子串后的字符char addedPreSubStrChar = s.charAt(subPublicPreSubStrLength);   if (addedSubStrChar == addedPreSubStrChar) {//新加入的字符和之前的最长公共前缀子串后的字符相同//最长公共子串是在前一个的基础上，再加一个字符next[subStrLength] = ++subPublicPreSubStrLength;//继续求i+1个字符组成的字符串中的前缀子串subStrLength++;     } else {//新加入的字符和之前最长公共前缀子串后的字符不同，说明之前的公共子串已经不能用了if (subPublicPreSubStrLength == 0) {//前一个公共子串长度已经为0了，那说明当前情况下的公共子串也只能是0了next[subStrLength] = 0;//继续求i+1个字符组成的字符串中的前缀子串subStrLength++;     } else {//继续求前一个前缀子串的前缀子串，这里就是那个最让人搞不懂的，k = next[k]的回退subPublicPreSubStrLength = next[subPublicPreSubStrLength];}}}return next;
}

本来可以写的很简洁，但是我特意把各个变量的命名写的清楚一些，配合注释希望大家能看懂。建议大家要是抄代码的话，可以换个其他人的写法来抄，我这个为了看清楚写的很冗长，很多地方可以优化调整，主要是能看明白思路就好。