凸包问题分治法求解

问题介绍

给定平面上一些点的集合，找到一些点，使得这些点形成一个凸的包围，围住所有的点，如图

思路

采用分治法，将点集合一分为二，整体的凸包问题可以分为【求上半部分的凸包】+【求下半部分的凸包】

分策略

将集合一分为二的策略是：将点按照x升序排序，x相同则按y升序，然后选取0和最后一个下标，以这两点做一条直线，这两点一定是最左边和最右边的，我们用 pa 和 pb 表示这两点

为子问题求解划分范围

已经将集合一分为二了，那么子问题的求解区间该怎么划定呢？

遍历所有的点

找到在【直线pa pb】上方，距离【直线pa pb】最远的点 pmax
找到在【直线pa pb】下方，距离【直线pa pb】最远的点 pmin

最远距离表示

这个距离我们可以用他们三点组成的三角形的面积来表示，这个行列式可以求解，值得注意的是，p1一定是在p2左边，p1，p2组成直线，p3是我们要判断的那个点

最后得出的值大于0，说明 p3 在【直线 p1 p2】上方
最后得出的值小于0，说明 p3 在【直线 p1 p2】下方
最后得出的值等于0，说明 p3 在【直线 p1 p2】上

我们找到在【直线pa pb】上方，距离【直线pa pb】最远的点 pmax，找到在【直线pa pb】下方，距离【直线pa pb】最远的点 pmin，将 pa， pb， pmax， pmin 连起来，得到如下的图

把【直线 pa pmax 】上方的点作为下一次查找的集合 s1
把【直线 pmax pb 】上方的点作为下一次查找的集合 s2
把【直线 pa pmin 】下方的点作为下一次查找的集合 s3
把【直线 pmin pb 】下方的点作为下一次查找的集合 s4

分别递归四个区域点的集合，值得注意的是

使用points数组存储点
使用vis数组，表示下标为 i 的点是不是凸包上的点，vis[i] = 1则是

递归的边界情况，点集合的数目小于3，说明所有点都在凸包上，vis 置 1
在直线上的点，也要加入下一次的点的集合
如果递归的是上半部分的集合，那么之后的所有递归都只用针对上半部分，递归 s1 s2
如果递归的是下半部分的集合，那么之后所有的递归都只用针对下半部分，递归 s3 s4
如果递归的是全体集合（只有第一次递归会发送这个情况），需要同时递归上下部分，即同时递归 s1 s2 s3 s4

代码

输入：

输出

(1, 1)
(1, 2)
(2, 0)
(2, 3)
(4, 0)
(5, 1)
(5, 4)
(6, 2)

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;// 结构定义
typedef struct p
{int x, y;
}p;bool cmp(const p& p1, const p& p2)
{if(p1.x==p2.x) return p1.y<p2.y;return p1.x<p2.x;
}// 存放点
p points[100];
int vis[100];// 计算p1,p2,pi三个点组成的三角形面积
int peak(p p1, p p2, p pi)
{return p1.x*p2.y + pi.x*p1.y + p2.x*pi.y - pi.x*p2.y - p2.x*p1.y - p1.x*pi.y;
}// 递归求凸包
// ps 是当前要求解的点的集合，ps保存这些点在points数组中的下标
// mode 表示递归s1 s2，还是递归s3，s4，还是同时递归 s1，s2，s3，s4
// mode = 3 递归 s1，s2，s3，s4，只有第一次调用会出现该情况
// mode = 2 递归s3，s4
// mode = 1 递归s1 s2
void hull(vector<int> &ps, int mode)
{// 边界处理：少于两个点的集合一定是凸包上的点 if(ps.size()<=2){for(int i=0; i<ps.size(); i++) vis[ps[i]]=1;return;}// 最左右一定是凸包上的点， pa最左点，pb最右点 vis[ps.front()]=1, vis[ps.back()]=1;p pa=points[ps.front()], pb=points[ps.back()];// 找距离 pa，pb组成的直线最远的点，imax是上方最远，imin是下方最远 int maxs=INT_MIN, mins=INT_MAX, imax=-1, imin=-1;for(int i=1; i<ps.size()-1; i++){int s = peak(pa, pb, points[ps[i]]);if(s>maxs && s>=0) maxs=s, imax=ps[i];if(s<mins && s<=0) mins=s, imin=ps[i];}// pa,pb与imax，imin的连线，分割出下一趟递归的点集合 s1 s2 s3 s4vector<int> s1, s2, s3, s4;for(int i=0; i<ps.size()-1; i++){if(peak(pa, points[imax], points[ps[i]])>=0) s1.push_back(ps[i]);if(peak(pa, points[imin], points[ps[i]])<=0) s3.push_back(ps[i]);}for(int i=1; i<ps.size(); i++){if(peak(points[imax], pb, points[ps[i]])>=0) s2.push_back(ps[i]);if(peak(points[imin], pb, points[ps[i]])<=0) s4.push_back(ps[i]);}if(mode==3)hull(s1, 1), hull(s2, 1), hull(s3, 2), hull(s4, 2);else if(mode==1) hull(s1, 1), hull(s2, 1);else if(mode==2) hull(s3, 2), hull(s4, 2);
} int main()
{int n, x, y;cin>>n;vector<int> ps(n);for(int i=0; i<n; i++)cin>>points[i].x>>points[i].y, ps[i]=i;sort(points, points+n, cmp);hull(ps, 3);for(int i=0; i<n; i++)if(vis[i]==1) cout<<"("<<points[i].x<<", "<<points[i].y<<")"<<endl;return 0;
}/*
12
1 1
1 2
2 0
2 1
2 3
3 1
3 3
4 0
4 2
5 1
5 4
6 2
*/

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