Codeforces 1604D: Moderate Modular Mode

题目

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样例描述

题目大意

给定两个偶数 x x x 和 y y y，需要找到任意一个 1 ≤ n ≤ 2 × 1 0 18 1 \le n \le 2 \times 10^{18} 1≤n≤2×1018，使得 n m o d x = y m o d n n \mod x = y \mod n nmodx=ymodn。题目保证解是存在的。

题目解析

可以先从简单的地方开始尝试，比如 n = x + y n=x+y n=x+y ，此时 ( x + y ) m o d x = y m o d ( x + y ) (x+y)\mod x= y \mod (x+y) (x+y)modx=ymod(x+y)，利用模运算可以导出 y m o d x = y y \mod x = y ymodx=y，所以，当 x > y x > y x>y 时， n = x + y n=x+y n=x+y 就是问题的解。
下面我们讨论 x ≤ y x \le y x≤y 的情况。

	n m o d x n \mod x nmodx	y m o d n y \mod n ymodn
n < x n \lt x n<x	n n n	< n \lt n <n
n > y n \gt y n>y	< x ≤ y \lt x \le y <x≤y	y y y
y ≥ n ≥ x y \ge n \ge x y≥n≥x	n − ⌊ n x ⌋ x n-\lfloor \frac{n}{x} \rfloor x n−⌊xn⌋x	y − ⌊ y n ⌋ n y-\lfloor \frac{y}{n} \rfloor n y−⌊ny⌋n

可以发现只有 y ≥ n ≥ x y \ge n \ge x y≥n≥x 时，题目给出的情况才会出现，抽象成一维情况，就是在 [ x , y ] [x,y] [x,y] 中找一点 n n n 使得 n m o d x = y m o d n n \mod x = y \mod n nmodx=ymodn。

抽象来讲，如果我们从 0 0 0 出发，每次走 x x x，走 t t t 次，再走一段较小的距离 δ ( 0 ≤ δ < x ≤ y ) \delta(0 \le \delta \lt x \le y) δ(0≤δ<x≤y)，假设可以到达点 n n n，那么： n = t x + δ n = tx + \delta n=tx+δ ，且 n m o d x = δ n \mod x = \delta nmodx=δ 。
若 y m o d n = n m o d x y \mod n = n \mod x ymodn=nmodx，那么考虑对于 n n n 最接近 y y y 的情况（ y m o d n = y − n y \mod n = y-n ymodn=y−n），可以得出 y − t x < 2 x y -tx \lt 2x y−tx<2x，因为若 y − t x ≥ 2 x y-tx \ge 2x y−tx≥2x，我们有 y − n = y − t x − δ ≥ 2 x − δ > x ≠ δ y-n=y-tx-\delta \ge 2x - \delta \gt x \neq \delta y−n=y−tx−δ≥2x−δ>x=δ。由于 x , y x,y x,y 都是偶数，考虑 y − t x < x y-tx<x y−tx<x的情况，则 n − t x = y − n ⇒ n = y + t x 2 = y + [ ( y − y m o d x ) / x ] ∗ x 2 = y − y m o d x 2 n-tx=y-n \Rightarrow n=\frac{y+tx}{2}=\frac{y+[(y - y \mod x) /x]*x}{2}=y - \frac{y \mod x}{2} n−tx=y−n⇒n=2y+tx=2y+[(y−ymodx)/x]∗x=y−2ymodx。至此可以直接求出 n n n 的解。另一种情况（ x ≤ y − t x < 2 x x \le y-tx \lt 2x x≤y−tx<2x）其实无法保证能得到解，比如，若题目给出 y − x < x y-x<x y−x<x，则仍然需要最近情况去求解，既然最近情况已经可以给出一个确定解了，对本题就不需要继续讨论了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;int main(){LL t, x, y;cin >> t;while(t--) {cin >> x >> y;if(x > y) cout << x + y << endl;else cout << y - (y % x) / 2 << endl;}return 0;
}