【概率论】边缘分布函数

例1：昆虫产卵，设某种昆虫产卵数X∼P(λ)X \sim P(\lambda)X∼P(λ), 设卵的孵化率为ppp，孵化数记为YYY,求

a)X,YX,YX,Y的联合分布律;

b)X,YX,YX,Y的边缘分布律.

解：a) 由题意知, 当产卵数x固定时,Y∼B(x,p),Y \sim B(x, p),Y∼B(x,p),故由乘法公式：
pij=P{X=i,Y=j}=P{Y=j∣X=i}⋅P{X=i}=(ij)pj(1−p)i−j⋅e−λλii!,i≥j,i=0,1,…p_{i j}=P\{X=i, Y=j\}=P\{Y=j | X=i\} \cdot P\{X=i\}=\left(\begin{array}{c}i \\ j\end{array}\right) p^{j}(1-p)^{i-j} \cdot e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i !}, \quad i \geq j, \quad i=0,1, \dotspij=P{X=i,Y=j}=P{Y=j∣X=i}⋅P{X=i}=(ij)pj(1−p)i−j⋅e−λi!λi,i≥j,i=0,1,…

b)pi⋅=e−λλii!,i=0,1,…p⋅j=e−λp(λp)jj!,j=0,1,⋯p_{i \cdot}=e^{-\lambda} \frac{\lambda^{i}}{i !}, \quad i=0,1, \ldots \quad p_{\cdot j}=e^{-\lambda p} \frac{(\lambda p)^{j}}{j !}, \quad j=0,1, \cdotspi⋅=e−λi!λi,i=0,1,…p⋅j=e−λpj!(λp)j,j=0,1,⋯
注：可以看到Y的分布为参数为λp\lambda pλp的泊松分布，λp\lambda pλp即为孵出虫的期望值

边缘密度函数:若X,Y有联合函数f(x,y),X,Yf(x, y),X,Yf(x,y),X,Y的密度函数可以这样看，从分布函数开始:
F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvFX(x)=lim⁡y→∞F(x,y)=∫−∞x(∫−∞+∞f(u,v)dv)du\begin{array}{l} F(x, y)=\int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{y} f(u, v) d u d v \\ F_{X}(x)=\lim _{y \rightarrow \infty} F(x, y)=\int_{-\infty}^{x}\left(\int_{-\infty}^{+\infty} f(u, v) d v\right) d u \end{array} F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudvFX(x)=limy→∞F(x,y)=∫−∞x(∫−∞+∞f(u,v)dv)du
对x求导,即得X的边缘密度函数.
fX(x)=FX′(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyf_{X}(x)=F_{X}^{\prime}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y fX(x)=FX′(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy
同理,可得Y的边缘密度函数为:
fY(y)=FY′(x)=∫−∞+∞f(x,y)dxf_{Y}(y)=F_{Y}^{\prime}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x fY(y)=FY′(x)=∫−∞+∞f(x,y)dx

例:设 X, Y的联合密度函数为
f(x,y)={214x2y,x2≤y≤10,其他 f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{21}{4} x^{2} y, & x^{2} \leq y \leq 1 \\ 0, & \text { 其他 } \end{array}\right. f(x,y)={421x2y,0,x2≤y≤1 其他
求X,Y的边缘密度函数fX(x),fY(y)f_{X}(x), f_{Y}(y)fX(x),fY(y)

解:
fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy=∫x21214x2ydy=218x2(1−x4),−1≤x≤1fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx=∫−yy214x2ydx=72y52,0≤y≤1\begin{array}{l} \quad f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d y=\int_{x^2}^{1} \frac{21}{4} x^{2} y d y=\frac{21}{8} x^{2}\left(1-x^{4}\right), \quad-1 \leq x \leq 1\\ f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x, y) d x=\int_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} \frac{21}{4} x^{2} y d x=\frac{7}{2} y^{\frac{5}{2}}, \quad 0 \leq y \leq 1 \end{array} fX(x)=∫−∞∞f(x,y)dy=∫x21421x2ydy=821x2(1−x4),−1≤x≤1fY(y)=∫−∞∞f(x,y)dx=∫−yy421x2ydx=27y25,0≤y≤1

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