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前置知识

P2825 [HEOI2016/TJOI2016]游戏
注：本题做法与上题做法类似。
用到的算法：

图论——二分图——匈牙利算法（最大匹配）
建边——链式前向星。

解题思路

题目要求输出在题目给定的棋盘上能放最多的bishop（象）。
因为象的行走路线为对角线（斜线），不好写，所以我们将整个棋盘顺时针旋转45°（如图）。

由图可以看出，原先棋盘的对角线在顺时针旋转45°后变成了行和列。
由此，我们考虑行列匹配。

一、输入

这里有一个巨坑点（作者这个蒟蒻被这个东西坑了一周）。
输入原棋盘时，建议一行一行的输入并且输入整个棋盘后再进行操作，否则有可能“听取WA声一片”。

二、存储旋转后的棋盘

我们建立一个结构体 n o d e node node 。

struct node{int xx,yy;int can;
}a[2200][2200];

a [ i ] [ j ] . x x a[i][j].xx a[i][j].xx 表示在原棋盘中 i i i 行 j j j 列的格子在旋转后位于 x x xx xx 行。
a [ i ] [ j ] . y y a[i][j].yy a[i][j].yy 表示旋转后位于 y y yy yy 列。

c a n can can 的值分三种：

c a n can can = 0
该点可以放置象，且不会攻击到棋盘上原有棋子。
c a n can can = 1
该点已有棋子，不可放置象，会阻挡除马以外的攻击范围。
c a n can can = 2
该点未有棋子，但不可放置象，否则会攻击原有棋子或被原有棋子攻击，但不阻挡任何棋子的攻击范围。

接下来，我们看具体如何操作。

1. 旋转后的格子位置

我们假设 n n n = 4 , m m m = 5。
先观察原棋盘格子的位置。

再看旋转后格子的位置。

不难发现，棋盘旋转45°后，原位置为 ( i , j ) (i,j) (i,j) 的格旋转到了 ( i + j − 1 , j + n − i ) (i+j-1,j+n-i) (i+j−1,j+n−i) 的位置。

2.标记攻击范围

国际象棋中一共有 6 种棋子：
K – king（国王），Q – queen（皇后），B – bishop（象，教主），N – knight（马、骑士），R – rook（车），P – pawn（兵）。

在原棋盘上，棋子的攻击范围分别如下：

我们将棋子所在格子的 c a n can can 标记为 1 1 1 , 将攻击范围标记为 2 2 2 。
注意：除马（knight）以外，其他棋子的攻击范围均会被棋子阻挡。

如上图，车（R）的攻击范围被兵（P）阻挡，无法攻击到绿色格子。

你以为这道题的思路到此就结束了？不，还没有。
再细读题目，发现题目有这样一句话：

你需要避免的有 2 种情况：你摆放的 bishop 之间的互相攻击以及你摆放的 bishop 与预先摆放好的棋子之间的互相攻击。

所以我们不仅要标记棋子原有的攻击范围，还要再加上一个象的攻击范围。

三、二分图最大匹配

在【一】里讲过，旋转45°后，象的攻击范围由对角线变为行和列。由此，我们可以行列匹配。
我们开两个数组 r r r 和 c c c 。
r r r 数组存储象在新棋盘的水平方向上的每一个不同的攻击范围
c c c 数组存储象在新棋盘的竖直方向上的每一个不同的攻击范围
下面举个简单的例子来进一步理解。
红色点为 N N N 的攻击范围
我们设新棋盘的水平方向上不同的攻击范围的标记为 l e n r lenr lenr 。

l e n r lenr lenr 每过一行需要加1,因为象在新棋盘上水平方向只能攻击到一行
如果遇到棋子， l e n r lenr lenr 也需要加1，因为棋子能阻挡象的攻击范围

则完成标记后的 r r r 数组如下：

标记 c c c 数组时同理，不作赘述。
下图为标记完成的 c c c 数组。

标记完成后，遍历新棋盘上的每一个点，若该点 ( i , j ) (i,j) (i,j) 可以放置象，则建立边连接 r i , j r_{i,j} ri,j 与 c i , j c_{i,j} ci,j (连接在该位置的象所能攻击到的两个方向的攻击范围编号)。

最后用匈牙利算法求最大匹配，就顺利切下这道题啦！

下面结合代码来理解吧！

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
using namespace std;
int head[1050000],to[1050000],ne[1050000],id;
int vis[20200],d[20200],n,m,maxx,ans;
int mp[2200][2200],r[2200][2200],c[2200][2200];
char s[1050][1050];
struct node{int xx,yy;int can;
}a[2200][2200];void B(int x,int y){for(int i=x-1,j=y-1;i>=1&&y>=1;i--,j--){if(s[i][j]!='.') break;a[i][j].can = 2;}for(int i=x+1,j=y+1;i<=n&&j<=m;i++,j++){if(s[i][j]!='.') break;a[i][j].can = 2;}for(int i=x+1,j=y-1;i<=n&&j>=1;i++,j--){if(s[i][j]!='.') break;a[i][j].can = 2;}for(int i=x-1,j=y+1;i>=1&&j<=m;i--,j++){if(s[i][j]!='.') break;a[i][j].can = 2;}
}
void K(int x,int y){int kx[8] = {-1,-1,-1,0,1,1,1,0};int ky[8] = {-1,0,1,1,1,0,-1,-1};for(int i=0;i<8;i++){if(a[x+kx[i]][y+ky[i]].can==0) a[x+kx[i]][y+ky[i]].can = 2;}
}
void R(int x,int y){for(int i=y+1;i<=m;i++){if(s[x][i]!='.') break;a[x][i].can = 2;}for(int i=y-1;i>=1;i--){if(s[x][i]!='.') break;a[x][i].can = 2;}for(int i=x+1;i<=n;i++){if(s[i][y]!='.') break;a[i][y].can = 2;}for(int i=x-1;i>=1;i--){if(s[i][y]!='.') break;a[i][y].can = 2;}
}
void P(int x,int y){if(a[x-1][y-1].can==0&&s[x-1][y-1]=='.') a[x-1][y-1].can = 2;if(a[x-1][y+1].can==0&&s[x-1][y+1]=='.') a[x-1][y+1].can = 2;
}
void Q(int x,int y){R(x , y);B(x , y);
}
void N(int x,int y){int nx[8] = {-1,-2,-2,-1,1,2,2,1};int ny[8] = {-2,-1,1,2,2,1,-1,-2};for(int i=0;i<8;i++){if(x+nx[i]<1||x+nx[i]>n||y+ny[i]<1||y+ny[i]>m) continue;if(s[x+nx[i]][y+ny[i]]!='.') continue;a[x+nx[i]][y+ny[i]].can = 2;}
}void add(int x,int y){//链式前向星建边to[++id] = y;ne[id] = head[x];head[x] = id;
}
void init(){//标记r,c数组int lenr=1;for(int i=1;i<=n+m-1;i++){for(int j=1;j<=n+m-1;j++){if(mp[i][j]==-1) continue;if(!mp[i][j]) r[i][j] = lenr;else if(mp[i][j]==1) lenr++;}lenr++;}maxx = lenr;int lenc=1;for(int i=1;i<=n+m-1;i++){for(int j=1;j<=n+m-1;j++){if(mp[j][i]==-1) continue;if(!mp[j][i]) c[j][i] = lenc;else if(mp[j][i]==1) lenc++;}lenc++;}for(int i=1;i<=n+m-1;i++){for(int j=1;j<=n+m-1;j++){if(!mp[i][j]) add(r[i][j],c[i][j]);}}
}bool dfs(int u){//匈牙利算法for(int i=head[u];i;i=ne[i]){int v = to[i];if(vis[v]) continue;vis[v] = 1;if(!d[v] || dfs(d[v])){d[v] = u;return true;}}return false;
}
int main(){scanf("%d %d",&n,&m);for (int i=1;i<=n;i++){scanf("%s",s[i]+1);}for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){node f = {i+j-1 , j+n-i , a[i][j].can};if(s[i][j]=='.'){a[i][j] = f;continue;}f.can = 1;a[i][j] = f;if(s[i][j]=='B'){B(i , j);}else if(s[i][j]=='K'){K(i , j);B(i , j);}else if(s[i][j]=='R'){R(i , j);B(i , j);}else if(s[i][j]=='P'){P(i , j);B(i , j);}else if(s[i][j]=='Q'){Q(i , j);}else if(s[i][j]=='N'){N(i , j);B(i , j);}}}memset(mp,-1,sizeof(mp));for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=1;j<=m;j++){mp[a[i][j].xx][a[i][j].yy] = a[i][j].can; }}init();for(int i=1;i<maxx;i++){memset(vis,0,sizeof(vis));if(dfs(i)) ans++;}printf("%d\n",ans);return 0;
}

版权说明：本文为博主原创文章，转载请附上本文链接(https://blog.csdn.net/smart_CZH/article/details/125120137)。

2022-06-18 本文在洛谷用户caizehua的博客中发布。

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