泊松分布和指数分布：10分钟教程

作者：阮一峰

　　大学时，我一直觉得统计学很难，还差点挂科。

　　工作以后才发现，难的不是统计学，而是我们的教材写得不好。比起高等数学，统计概念其实很容易理解。

　　我举一个例子，什么是泊松分布和指数分布？恐怕大多数人都说不清楚。

　　我可以在 10 分钟内，让你毫不费力地理解这两个概念。

　　一、泊松分布

　　日常生活中，大量事件是有固定频率的。

某医院平均每小时出生 3 个婴儿
某公司平均每 10 分钟接到 1 个电话
某超市平均每天销售 4 包 xx 牌奶粉
某网站平均每分钟有 2 次访问

　　它们的特点就是，我们可以预估这些事件的总数，但是没法知道具体的发生时间。已知平均每小时出生 3 个婴儿，请问下一个小时，会出生几个？

　　有可能一下子出生 6 个，也有可能一个都不出生。这是我们没法知道的。

　　泊松分布就是描述某段时间内，事件具体的发生概率。

　　上面就是泊松分布的公式。等号的左边，P 表示概率，N表示某种函数关系，t 表示时间，n 表示数量，1 小时内出生 3 个婴儿的概率，就表示为 P (N(1) = 3) 。等号的右边，λ 表示事件的频率。

　　泊松分布的图形大概是下面的样子。

　　可以看到，在频率附近，事件的发生概率最高，然后向两边对称下降，即变得越大和越小都不太可能。每小时出生 3 个婴儿，这是最可能的结果，出生得越多或越少，就越不可能。

　　接下来两个小时，一个婴儿都不出生的概率是 0.25%，基本不可能发生。

　　接下来一个小时，至少出生两个婴儿的概率是 80%。

　　二、指数分布

　　指数分布描述事件发生间隔的概率。下面这些都属于指数分布。

婴儿出生的时间间隔
来电的时间间隔
奶粉销售的时间间隔
网站访问的时间间隔

　　指数分布的公式可以从泊松分布推断出来。如果下一个婴儿至少要间隔时间 t 才会出生，那就等同于时间 t 之内没有任何婴儿出生。

　　反过来，事件会在时间 t 之内发生的概率，就是 1 减去上面的值。

　　指数分布的图形大概是下面的样子。

　　可以看到，随着间隔时间变长，事件的发生概率急剧下降，呈指数式衰减。想一想，如果每小时平均出生 3 个婴儿，上面已经算过了，下一个婴儿间隔 2 小时才出生的概率是 0.25%，那么间隔 3 小时、间隔 4 小时的概率，是不是更接近于0？

　　接下来 15 分钟，会有婴儿出生的概率是 52.76%。

　　接下来的 15 分钟到 30 分钟，会有婴儿出生的概率是 24.92%。

　　三、总结

　　泊松分布和指数分布，都有一个前提，那就是事件之间不能有关联，必须是独立事件，否则就不能运用上面的公式。

　　一句话总结：泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

　　[说明] 本文受到 nbviewer 文档的启发。

　　（正文完）

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