python实现图像傅里叶变换

在做超分辨重建任务时，需要对重建图像做出评价，主要是人眼感官上的评价。这就需要我们从空域和频域两个方面对图像进行评价。下面给给出python实现的结果，并给出相应的代码。

图像(MxN)的二维离散傅立叶变换可以将图像由空间域变换到频域中去，空间域中用x,y来表示空间坐标，频域由u,v来表示频率，二维离散傅立叶变换的公式如下：

在python中，numpy库的fft模块有实现好了的二维离散傅立叶变换函数，函数是fft2，输入一张灰度图，输出经过二维离散傅立叶变换后的结果，但是具体实现并不是直接用上述公式，而是用快速傅立叶变换。结果需要通过使用abs求绝对值才可以进行可视化，但是视觉效果并不理想，因为傅立叶频谱范围很大，所以要用log对数变换来改善视觉效果。

在使用log函数的时候，要写成log(1 + x) 而不是直接用log(x),这是为了避开对0做对数处理。

另外，图像变换的原点需要移动到频域矩形的中心，所以要对fft2的结果使用fftshift函数。最后也可以使用log来改善可视化效果。

代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as pltimg = plt.imread('FFT/baboon.png')
plt.subplot(231),plt.imshow(img),plt.title('picture')#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]#显示灰度图
plt.subplot(232),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')#进行傅立叶变换，并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
plt.subplot(233),plt.imshow(np.abs(fft2),'gray'),plt.title('fft2')#将图像变换的原点移动到频域矩形的中心，并显示效果
shift2center = np.fft.fftshift(fft2)
plt.subplot(234),plt.imshow(np.abs(shift2center),'gray'),plt.title('shift2center')#对傅立叶变换的结果进行对数变换，并显示效果
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(235),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')#对中心化后的结果进行对数变换，并显示结果
log_shift2center = np.log(1 + np.abs(shift2center))
plt.subplot(236),plt.imshow(log_shift2center,'gray'),plt.title('log_shift2center')
plt.show()

运行结果：

###根据公式实现的二维离散傅立叶变换如下：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
PI = 3.141591265
img = plt.imread('temp.jpg')#根据公式转成灰度图
img = 0.2126 * img[:,:,0] + 0.7152 * img[:,:,1] + 0.0722 * img[:,:,2]#显示原图
plt.subplot(131),plt.imshow(img,'gray'),plt.title('original')#进行傅立叶变换，并显示结果
fft2 = np.fft.fft2(img)
log_fft2 = np.log(1 + np.abs(fft2))
plt.subplot(132),plt.imshow(log_fft2,'gray'),plt.title('log_fft2')h , w = img.shape
#生成一个同样大小的复数矩阵
F = np.zeros([h,w],'complex128')
for u in range(h):for v in range(w):res = 0for x in range(h):for y in range(w):res += img[x,y] * np.exp(-1.j * 2 * PI * (u * x / h + v * y / w))F[u,v] = res
log_F = np.log(1 + np.abs(F))
plt.subplot(133),plt.imshow(log_F,'gray'),plt.title('log_F')

直接根据公式实现复杂度很高，因为是四重循环，时间复杂度为O(M2N2)，所以实际用的时候需要用快速傅立叶变换来实现。

python实现快速傅里叶变换：

import cvdef FFT(image,flag = 0):w = image.widthh = image.heightiTmp = cv.CreateImage((w,h),cv.IPL_DEPTH_32F,1)cv.Convert(image,iTmp)iMat = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)mFFT = cv.CreateMat(h,w,cv.CV_32FC2)for i in range(h):for j in range(w):if flag == 0:num = -1 if (i+j)%2 == 1 else 1else:num = 1iMat[i,j] = (iTmp[i,j]*num,0)cv.DFT(iMat,mFFT,cv.CV_DXT_FORWARD)return mFFTdef IFFT(mat):mIFFt = cv.CreateMat(mat.rows,mat.cols,cv.CV_32FC2)cv.DFT(mat,mIFFt,cv.CV_DXT_INVERSE)return mIFFtdef Restore(mat):w = mat.colsh = mat.rowssize = (w,h)iRestore = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)for i in range(h):for j in range(w):num = -1 if (i+j)%2 == 1 else 1iRestore[i,j] = mat[i,j][0]*num/(w*h)return iRestoredef FImage(mat):w = mat.colsh = mat.rowssize = (w,h)# iReal = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)# iIma = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)iAdd = cv.CreateImage(size,cv.IPL_DEPTH_8U,1)for i in range(h):for j in range(w):# iReal[i,j] = mat[i,j][0]/h# iIma[i,j] = mat[i,j][1]/hiAdd[i,j] = mat[i,j][1]/h + mat[i,j][0]/hreturn iAdddef Filter(mat,flag = 0,num = 10):mFilter = cv.CreateMat(mat.rows,mat.cols,cv.CV_32FC2)for i in range(mat.rows):for j in range(mat.cols):if flag == 0:mFilter[i,j] = (0,0)else:mFilter[i,j] = mat[i,j]for i in range(mat.rows/2-num,mat.rows/2+num):for j in range(mat.cols/2-num,mat.cols/2+num):if flag == 0:mFilter[i,j] = mat[i,j]else:mFilter[i,j] = (0,0)return mFilterimage = cv.LoadImage('lena.jpg',0)
mFFT = FFT(image)
mIFFt = IFFT(mFFT)
iAfter = FImage(mFFT)
mLP = Filter(mFFT)
mIFFt1=IFFT(mLP)
iLP = FImage(mLP)
iRestore = Restore(mIFFt1)mHP = Filter(mFFT,1)
mIFFt2 = IFFT(mHP)
iHP = FImage(mHP)
iRestore2 = Restore(mIFFt2)cv.ShowImage('image',image)
cv.ShowImage('iAfter',iAfter)
cv.ShowImage('iLP',iLP)
cv.ShowImage('iHP',iHP)
cv.ShowImage('iRestore',iRestore)
cv.ShowImage('iRestore2',iRestore2)cv.WaitKey(0)

opencv实现傅里叶变换：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import cv2img = cv2.imread('HR/baboon.png',0)dft = cv2.dft(np.float32(img),flags = cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)
dft_shift = np.fft.fftshift(dft)magnitude_spectrum = 20*np.log(cv2.magnitude(dft_shift[:,:,0],dft_shift[:,:,1]))plt.subplot(121),plt.imshow(img, cmap = 'gray')
plt.title('Input Image'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.subplot(122),plt.imshow(magnitude_spectrum, cmap = 'gray')
plt.title('Magnitude Spectrum'), plt.xticks([]), plt.yticks([])
plt.show()

参考文献：

【1】文献一

【2】文献二

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