1.宏观态和微观态

对于一个近独立的系统，即系统能量是每个分子的能量和的系统：

E=∑jεiE=\sum_j\varepsilon_iE=j∑εi

我们认为，如果确定了每个分子的广义坐标，也就确定了每个分子的能量，进而整个系统的能量也就确定了。而单一粒子在其子相空间（μ空间）中的位置就包含了能量特征，所以研究子相空间是很有必要的。

1.1 μ\muμ空间分割和宏观态

把μ\muμ空间分成许多小体元Δμj(j=1,2,...,l)\Delta\mu_j({j=1,2,...,l})Δμj(j=1,2,...,l),Δμj\Delta\mu_jΔμj不能过大也不能太小。在Δμj\Delta\mu_jΔμj中，可近似认为落入其中的代表点具有相同的广义坐标。
只要知道每个Δμj\Delta\mu_jΔμj体元中代表点的数目aj(j=1,2,...,l)a_j(j=1,2,...,l)aj(j=1,2,...,l)，就可以确定整个系统的体积、内能等宏观物理量
描述宏观态可以用一组数a1,a2,...,ala_1,a_2,...,a_la1,a2,...,al来描述，或者用{aja_jaj}来表示。

1.2宏观态的组态与配容

首先，一个宏观态对应不同的微观态。（对于量子描述，其粒子不可分辨，而对于经典描述，其粒子可以分辨）。
在刚才的分析中，Δμj\Delta\mu_jΔμj里的代表点个数即使确定，对于经典粒子还有一个问题：粒子占据aja_jaj个代表点有多少种可能的方式。我们称粒子代表点在子相宇各体元中的分配方式为一种组态或配容。
一个分布{aja_jaj}对应很多不同的组态，与宏观态对应很多微观态意思一样。

1.3宏观态对应的组态数

对于一个确定的分布{aja_jaj}，假设体系有N个粒子，其对应多少个不同的组态呢？由基本的排列组合知识，不同组态的个数为：
W=N!∏jajW=\frac{N!}{\prod_j a_j}W=∏jajN!
一种理解是如果不考虑aja_jaj带来的组态数的同一性，直接N个盒子放N个小球，就是N!种，再除以每个aja_jaj的同一性带来的重复。或者理解成先从N个粒子中挑a1a_1a1个作为Δμ1\Delta\mu_1Δμ1内的代表点，再从N-a1a_1a1个粒子中挑a2a_2a2个作为Δμ2\Delta\mu_2Δμ2内的代表点，以此类推，其排列数为ANa1AN−a1a2AN−a1−a2a3...A_N^{a_1}A_{N-a_1}^{a_2}A_{N-a_1-a_2}^{a_3}...ANa1AN−a1a2AN−a1−a2a3...算出解与上面一致。

2.等概率原理与最概然统计（统计物理最基本的假设）

如果对于系统没有过多的认识，就假定一切符合所有约束条件的微观态出现的概率相等，这就是等概率原理。基于对称的思想，她是直观的，其正确性需要由实验来验证。

2.1 等概率原理解释相空间粒子分布

具体在μ\muμ空间中，等概率原理认为任意代表点进入子相空间中Δμj\Delta\mu_jΔμj的概率和Δμj\Delta\mu_jΔμj的体积成正比
因此，对于体元Δμj\Delta\mu_jΔμj，其中有1个粒子的概率正比于Δμj\Delta\mu_jΔμj，有aja_jaj个粒子的概率正比于(Δμj)aj(\Delta\mu_j)^{a_j}(Δμj)aj
所以对于一个确定的分布{aja_jaj}，其组态出现的概率即为如下：
ΔT=∏j(Δμjμ)aj\Delta\Tau=\prod_j(\frac{\Delta\mu_j}{\mu})^{a_j}ΔT=j∏(μΔμj)aj
其中μ\muμ是全子相空间的体积
这是个只和分布有关的概率，当分布确定后每一个组态对应的概率相等

然额我们的目的是要揭示系统分布与组态的关联，只有这些还不够。

2.2 最概然统计揭示需要的分布

我们认为出现概率最大的那个宏观态为系统的平衡态，也就是对应微观态数最多的宏观态为系统的平衡态。这个假设在分子数目足够多的时候是可信的。
由最概然统计法，我们意识到平衡态和系统分布所对应的组态个数的多少又很大关系，换言之，哪种分布出现的概率最大我们就把那种分布当作平衡态！
我们已经得到了系统处于特定分布{aja_jaj}时可能的组态数WWW，同时我们也得到了系统处于该分布时每个组态出现的概率ΔT\Delta\TauΔT，所以这个宏观分布{aja_jaj}出现的概率
Ω=WΔT=N!μN∏jΔμjajaj!\Omega=W\Delta\Tau=\frac{N!}{\mu^N}\prod_{j}\frac{\Delta\mu_j^{a_j}}{a_j!}Ω=WΔT=μNN!j∏aj!Δμjaj
Ω\OmegaΩ取极大值时对应平衡态。

3.计算Ω\OmegaΩ的极值条件

~~~因笔者数学功力不够，此部分只写关键过程和结论。~~

对Ω\OmegaΩ先取对数，再作其变分，得到极值条件：
δlnΩ=δ[∑jajlnΔμj−∑jln(aj!)]=0(1)\delta ln\Omega=\delta[\sum_{j}a_jln\Delta\mu_j-\sum_j ln(a_j!)]=0\tag{1}δlnΩ=δ[j∑ajlnΔμj−j∑ln(aj!)]=0(1)
借助大数的Stirling公式对（1）化简
lnM!=MlnM−M(2)lnM!=MlnM-M \tag{2}lnM!=MlnM−M(2)
得到极值条件：
∑jlnajΔμjδaj=0(3)\sum_j ln\frac{a_j}{\Delta\mu_j}\delta a_j=0\tag{3}j∑lnΔμjajδaj=0(3)
我们想要求出aja_jaj，但仅由（3）式不够。这时想到系统的前提条件：
∑aj=N(4)\sum a_j=N\tag{4}∑aj=N(4)
∑εjaj=E(5)\sum\varepsilon_ja_j=E\tag{5}∑εjaj=E(5)
作变分得到
∑δaj=0(6)\sum \delta a_j=0\tag{6}∑δaj=0(6)
∑εjδaj=0(7)\sum\varepsilon_j \delta a_j=0\tag{7}∑εjδaj=0(7)
(3),(6),(7)可以联立用Lagrange不定乘子法，将限制条件式乘α\alphaα、β\betaβ和待求式相加
∑j=1lln(ajΔμj+α+βεj)δaj=0(8)\sum_{j=1}^lln(\frac{a_j}{\Delta\mu_j}+\alpha+\beta \varepsilon_j)\delta a_j=0\tag{8}j=1∑lln(Δμjaj+α+βεj)δaj=0(8)
结果：
aj=Δμje−α−βεi(9)a_j=\Delta\mu_j e^{-\alpha-\beta \varepsilon_i}\tag{9}aj=Δμje−α−βεi(9)

4.MB分布律

将（9）与（4）联立，有
N=e−α∑jΔμje−βεi(10)N=e^{-\alpha}\sum_j \Delta\mu_je^{-\beta \varepsilon_i}\tag{10}N=e−αj∑Δμje−βεi(10)
故
aj=Δμje−α−βεi=NΔμje−βεi∑jΔμje−βεj(11)a_j=\Delta\mu_j e^{-\alpha-\beta \varepsilon_i}=\frac{N\Delta\mu_j e^{-\beta \varepsilon_i}}{\sum_j \Delta\mu_j e^{-\beta \varepsilon_j}}\tag{11}aj=Δμje−α−βεi=∑jΔμje−βεjNΔμje−βεi(11)
定义配分函数
Z=∑jΔμje−βεj(12)Z=\sum_j \Delta\mu_j e^{-\beta \varepsilon_j}\tag{12}Z=j∑Δμje−βεj(12)
于是aja_jaj有
aj=NZΔμje−βεi(13)a_j=\frac {N}{Z} \Delta\mu_j e^{-\beta \varepsilon_i}\tag{13}aj=ZNΔμje−βεi(13)

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