含抽象函数极限的求法

含抽象函数极限求法（没有给出具体的函数形式，只有f,g等）

四种方法：
1.洛必达法则
什么时候用：在已知题目中的函数可以求导。
在题目中同时出现fff和f′f'f′并且其他方法失败时，可以使用一次洛必达法则。

2.凑导数定义
什么时候用：f−ff-ff−f型且上下同次。
也可以是f−f(c)f-f(c)f−f(c)，f−cf-cf−c，其中右边常数一项有可能是0

3.拉格朗日中值定理
什么时候用：f−ff-ff−f型，上下次数不一定一至
用凑导数定义法可能也能做出来，但是这个有可能更方便

4.泰勒公式
什么时候用：点信息多，0多

例题
例一

例2

细节：
这道题不能刚开始就直接用洛必达法则。因为题目中虽然说了在x=0处二阶可导，但没有说在它的空心邻域二阶可导。所以只能用凑导数定义来做
题干中给的f′′f''f′′的值不为0，是解题的关键，所以要一直凑到f′′f''f′′出现为止。而f′f'f′是用来凑导数定义的，用来辅助f′′f''f′′的出现的。

例三：

泰勒公式展开式：f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+f′′(x0)2!(x−x0)2f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+2!f′′(x0)(x−x0)2+0(x^4)

导函数连续→极限值等于函数值

这道题最后和上一题一样用了凑导定义，凑到二阶导才能解题。

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