自动控制原理5.3---频率域稳定判据

参考书籍：《自动控制原理》(第七版).胡寿松主编.
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3.频率域稳定判据

3.1 奈氏判据数学基础

幅角原理

设sss为复数变量，F(s)F(s)F(s)为sss的有理分式函数；对于sss平面上任意一点sss，通过复变函数F(s)F(s)F(s)的映射关系，在F(s)F(s)F(s)平面上可以确定关于sss的象；在sss平面上任选一条闭合曲线Γ\GammaΓ且不通过F(s)F(s)F(s)的任一零点和极点，令sss从闭合曲线Γ\GammaΓ上任一点AAA起，顺时针沿Γ\GammaΓ运动一周，再回到AAA点，则相应地，F(s)F(s)F(s)平面上亦从点F(A)F(A)F(A)起，到F(A)F(A)F(A)点止亦形成一条闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF；

幅角原理：设sss平面闭合曲线Γ\GammaΓ包围F(s)F(s)F(s)的ZZZ个零点和PPP个极点，则sss沿Γ\GammaΓ顺时针运动一周时，在F(s)F(s)F(s)平面上，F(s)F(s)F(s)闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF包围原点的圈数为：R=P−ZR=P-ZR=P−Z；

其中：R>0R>0R>0和R<0R<0R<0分别表示ΓF\Gamma_FΓF顺时针包围和逆时针包围F(s)F(s)F(s)平面的原点，R=0R=0R=0表示不包围F(s)F(s)F(s)平面的原点；
复变函数F(s)F(s)F(s)的选择

选择复变函数：
F(s)=1+G(s)H(s)=1+B(s)A(s)=A(s)+B(s)A(s)(1)F(s)=1+G(s)H(s)=1+\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{A(s)+B(s)}{A(s)}\tag{1} F(s)=1+G(s)H(s)=1+A(s)B(s)=A(s)A(s)+B(s)(1)
F(s)F(s)F(s)的特点：
1. F(s)F(s)F(s)的零点为闭环传递函数的极点，F(s)F(s)F(s)的极点为开环传递函数的极点；
2. 开环传递函数分母多项式的阶次一般大于或等于分子多项式的阶次，因此F(s)F(s)F(s)的零点和极点数相同；
3. sss沿闭合曲线Γ\GammaΓ运动一周所产生的两条闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF和ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH只差常数1，即闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF可由ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH沿实轴正方向平移一个单位长度获得；闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF包围F(s)F(s)F(s)平面原点的圈数等于闭合曲线ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH包围F(s)F(s)F(s)平面(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点的圈数；
sss平面闭合曲线Γ\GammaΓ的选择
系统的闭环稳定性取决于系统闭环传递函数极点即F(s)F(s)F(s)的零点的位置，因此当选择sss平面闭合曲线Γ\GammaΓ包围sss平面的右半平面，若F(s)F(s)F(s)在sss右半平面的零点数Z=0Z=0Z=0，则闭环系统稳定；
G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)闭合曲线的绘制

由图5-30可知，sss平面闭合曲线Γ\GammaΓ关于实轴对称，鉴于G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)为实系数有理分式函数，因此闭合曲线ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH关于实轴对称，因此只需绘制ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH在Ims≥0，s∈ΓIms≥0，s\in\GammaIms≥0，s∈Γ对应的曲线段，得G(s)H(s)G(s)H(s)G(s)H(s)的半闭合曲线，称为奈奎斯特曲线，记为ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH；

半闭合曲线ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH由开环幅相特性曲线和根据开环虚轴极点所补作的无穷大的虚线圆弧两部分组成；
闭合曲线ΓF\Gamma_FΓF包围原点圈数RRR的计算

设NNN为ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH穿越(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧负实轴的次数，N+N_+N+表示正穿越的次数和(从上向下穿越)，N−N_-N−表示负穿越的次数和(从下向上穿越)，则
R=2N=2(N+−N−)(2)R=2N=2(N_+-N_-)\tag{2} R=2N=2(N+−N−)(2)
实例说明：
上图：虚线为按系统型别ν\nuν或等幅振荡环节数ν1\nu_1ν1补作的圆弧，点A、BA、BA、B为奈氏曲线与负实轴的交点，按穿越负实轴上(∞,−1)(\infty,-1)(∞,−1)段的方向，有：
- 图a：AAA点位于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)的左侧，ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH从下向上穿越，为一次负穿越；N−=1，N+=0，R=−2N_-=1，N_+=0，R=-2N−=1，N+=0，R=−2；
- 图b：AAA点位于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点的右侧，N+=N−=0，R=0N_+=N_-=0，R=0N+=N−=0，R=0；
- 图c：A，BA，BA，B点均位于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧，在AAA点处ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH从下向上穿越，为一次负穿越；BBB点处ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH从上向下穿越，为一次正穿越，有N+=N−=1，R=0N_+=N_-=1，R=0N+=N−=1，R=0；
- 图d：A，BA，BA，B点均位于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧，AAA点处ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH从下向上穿越，为一次负穿越；BBB点处ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH从上向下运动至实轴并停止，为半次正穿越，因此：N−=1，N+=12，R=−1N_-=1，N_+=\frac{1}{2}，R=-1N−=1，N+=21，R=−1；
- 图e：A，BA，BA，B点均位于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧，AAA点对应ω=0\omega=0ω=0，随ω\omegaω增大，ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH离开负实轴，为半次负穿越，BBB点处为一次负穿越，因此：N−=32，N+=0，R=−3N_-=\frac{3}{2}，N_+=0，R=-3N−=23，N+=0，R=−3；

3.2 奈奎斯特稳定判据(奈氏判据)

奈氏判据：反馈控制系统稳定的充要条件是半闭合曲线ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH不穿过(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点，且逆时针包围临界点(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点的圈数RRR等于开环传递函数的正实部极点数PPP；

实例分析：

Example1： 已知单位反馈系统开环幅相特性曲线(K=10,P=0,ν=1)(K=10,P=0,\nu=1)(K=10,P=0,ν=1)如下图所示，试确定系统闭环稳定时KKK值的范围。

解：

由图可知，开环幅相特性曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别为：ω1，ω2，ω3\omega_1，\omega_2，\omega_3ω1，ω2，ω3，系统开环传递函数结构：
G(s)=KsνG1(s)G(s)=\frac{K}{s^{\nu}}G_1(s) G(s)=sνKG1(s)
由题设可知，ν=1，lim⁡s→0G1(s)=1\nu=1，\lim_{s\rightarrow0}G_1(s)=1ν=1，lims→0G1(s)=1以及
G(jωi)=KjωiG1(jωi)，i=1,2,3G(j\omega_i)=\frac{K}{j\omega_i}G_1(j\omega_i)，i=1,2,3 G(jωi)=jωiKG1(jωi)，i=1,2,3
当K=10K=10K=10时，
G(jω1)=−2，G(jω2)=−1.5，G(jω3)=−0.5G(j\omega_1)=-2，G(j\omega_2)=-1.5，G(j\omega_3)=-0.5 G(jω1)=−2，G(jω2)=−1.5，G(jω3)=−0.5
令G(jωi)=−1G(j\omega_i)=-1G(jωi)=−1，则对应的KKK值：
K1=−11jω1G1(jω1)=−1−210=5，K2=203，K3=20K_1=\frac{-1}{\frac{1}{j\omega_1}G_1(j\omega_1)}=\frac{-1}{\frac{-2}{10}}=5，K_2=\frac{20}{3}，K_3=20 K1=jω11G1(jω1)−1=10−2−1=5，K2=320，K3=20
对应地，取0<K<K1，K1<K<K2，K2<K<K3，K>K30<K<K_1，K_1<K<K_2，K_2<K<K_3，K>K_30<K<K1，K1<K<K2，K2<K<K3，K>K3时，开环幅相特性曲线如下图，图中按ν\nuν补作虚圆弧得半闭合曲线ΓG\Gamma_GΓG；

根据ΓG\Gamma_GΓG曲线计算包围次数，判断系统闭环稳定性：

0<K<K1，R=0，Z=00<K<K_1，R=0，Z=00<K<K1，R=0，Z=0，闭环系统稳定；
K1<K<K2，R=−2，Z=2K_1<K<K_2，R=-2，Z=2K1<K<K2，R=−2，Z=2，闭环系统不稳定；
K2<K<K3，N+=N−=1，R=0，Z=0K_2<K<K_3，N_+=N_-=1，R=0，Z=0K2<K<K3，N+=N−=1，R=0，Z=0，闭环系统稳定；
K>K3，N+=1，N−=2，R=−2，Z=2K>K_3，N_+=1，N_-=2，R=-2，Z=2K>K3，N+=1，N−=2，R=−2，Z=2，闭环系统不稳定；

综上，系统闭环稳定时的KKK值范围为：(0,5)(0,5)(0,5)和(203，20)(\frac{20}{3}，20)(320，20)；当KKK等于5，203，205，\frac{20}{3}，205，320，20时，TGT_GTG穿越临界点(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)，且在这三个值的邻域，系统闭环稳定或不稳定，因此系统闭环临界稳定；

3.3 对数频率稳定判据

复平面ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH曲线一般由两部分组成：开环幅相曲线和开环系统存在积分环节和等幅振荡环节时所补作的半径为无穷大的虚圆弧；

半对数坐标下的ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH曲线确定穿越次数NNN或N+N_+N+和N−N_-N−；NNN的确定取决于A(ω)>1A(\omega)>1A(ω)>1时ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH穿越负实轴的次数；

穿越点确定

设ω=ωc\omega=\omega_cω=ωc时，
{A(ωc)=∣G(jωc)H(jωc)∣=1L(ωc)=20lg⁡A(ωc)=0(3)\begin{cases} &A(\omega_c)=|G(j\omega_c)H(j\omega_c)|=1 \\ &L(\omega_c)=20\lg{A(\omega_c)}=0 \end{cases}\tag{3} {A(ωc)=∣G(jωc)H(jωc)∣=1L(ωc)=20lgA(ωc)=0(3)
其中：ωc\omega_cωc称为截止频率；

对于复平面的负实轴和开环对数相频特性，当取频率为穿越频率ωx\omega_xωx时，
φ(ωx)=(2k+1)π，k=0，±1，±2，…(4)\varphi(\omega_x)=(2k+1)\pi，k=0，±1，±2，\dots\tag{4} φ(ωx)=(2k+1)π，k=0，±1，±2，…(4)
设半对数坐标下ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线分别为：ΓL\Gamma_{L}ΓL和Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ，由于ΓL\Gamma_{L}ΓL等于L(ω)L(\omega)L(ω)曲线，则ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH在A(ω)>1A(\omega)>1A(ω)>1时，穿越负实轴的点等于ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH在半对数坐标下，对数幅频特性L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时对数相频特性曲线Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ与(2k+1)π(k=0,±1,±2,…)(2k+1)\pi(k=0,±1,±2,\dots)(2k+1)π(k=0,±1,±2,…)，平行线的交点；
Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ确定
- 开环系统无虚轴上极点时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ等于φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)曲线；
- 开环系统存在积分环节1sν(ν>0)\frac{1}{s^{\nu}}(\nu>0)sν1(ν>0)时，复数平面的ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH曲线，需从ω=0+\omega=0_+ω=0+的开环幅相特性曲线的对应点G(j0+)H(j0+)G(j0_+)H(j0_+)G(j0+)H(j0+)起，逆时针补作ν×90°\nu\times90°ν×90°半径为无穷大的虚圆弧；需从对数相频特性曲线ω\omegaω较小且L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0的点处向上补作ν×90°\nu\times90°ν×90°的虚直线，φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)曲线和补作的虚直线构成Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ；
- 开环系统存在等幅振荡环节1(s2+ωn2)ν1(ν1>0)\frac{1}{(s^2+\omega_n^2)^{\nu_1}}(\nu_1>0)(s2+ωn2)ν11(ν1>0)时，复数平面的ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH曲线，需从ω=ωn−\omega=\omega_{n^-}ω=ωn−的开环幅相曲线的对应点G(jωn−)H(jωn−)G(j\omega_{n^-})H(j\omega_{n^-})G(jωn−)H(jωn−)起，顺时针补作ν1×180°\nu_1\times180°ν1×180°半径为无穷大的虚圆弧至ω=ωn+\omega=\omega_{n^+}ω=ωn+的对应点G(jωn+)H(jωn+)G(j\omega_{n^+})H(j\omega_{n^+})G(jωn+)H(jωn+)处；相应地，需从对数相频特性曲线φ(ωn−)\varphi(\omega_{n^-})φ(ωn−)起，向上补作ν1×180°\nu_1\times180°ν1×180°的虚直线至φ(ωn+)\varphi(\omega_{n^+})φ(ωn+)处，φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)曲线和补作的虚直线构成Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ；
穿越次数的计算
1. 正穿越一次：ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH由上向下穿越(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧的负实轴一次，等价于在L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ由下向上穿越(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线一次；
2. 负穿越一次：ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH由下向上穿越(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧的负实轴一次，等价于在L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ由上向下穿越(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线一次；
3. 正穿越半次：ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH由上向下止于或由上向下起于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧的负实轴，等价于在L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ由下向上止于或由下向上起于(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线；
4. 负穿越半次：ΓGH\Gamma_{GH}ΓGH由下向上止于或由下向上起于(−1,j0)(-1,j0)(−1,j0)点左侧的负实轴，等价于在L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ由上向下止于或由上向下起于(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线；
5. 补作的虚直线所产生的穿越皆为负穿越；
对数频率稳定判据

设PPP为开环系统正实部的极点数，反馈控制系统稳定的充要条件是φ(ωc)≠(2k+1)π(k=0,1,2,…)\varphi(\omega_c)≠(2k+1)\pi(k=0,1,2,\dots)φ(ωc)=(2k+1)π(k=0,1,2,…)和L(ω)>0L(\omega)>0L(ω)>0时，Γφ\Gamma_{\varphi}Γφ曲线穿越(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线的次数：N=N+−N−N=N_+-N_-N=N+−N−满足：Z=P−2N=0Z=P-2N=0Z=P−2N=0；

实例分析：
Example3： 已知系统型别ν=3，P=0\nu=3，P=0ν=3，P=0，开环对数相频特性曲线如下图所示，图中ω<ωc\omega<\omega_cω<ωc时，L(ω)>L(ωc)L(\omega)>L(\omega_c)L(ω)>L(ωc)，试确定闭环不稳定极点的个数。

解：

因为ν=3\nu=3ν=3，需在低频处由φ(ω)\varphi(\omega)φ(ω)曲线向上补作270°的虚直线于180°，如上图，在L(ω)>L(ωc)=0dBL(\omega)>L(\omega_c)=0dBL(ω)>L(ωc)=0dB频段内，存在两个与(2k+1)π(2k+1)\pi(2k+1)π线的交点，ω1\omega_1ω1处为一次负穿越，ω=0\omega=0ω=0处为半次负穿越，因此N−=1.5，N+=0N_-=1.5，N_+=0N−=1.5，N+=0，则有：
Z=P−2N=3Z=P-2N=3 Z=P−2N=3
因此，闭环不稳定极点的个数为3；

3.4 条件稳定系统

若开环传递函数在开右半sss平面的极点数P=0P=0P=0，当开环传递函数的某些参数改变时，闭环系统的稳定性将发生变化，这种闭环稳定有条件的系统称为条件稳定系统；
无论开环传递函数的系数怎样变化，系统总是闭环不稳定的，这样的系统称为结构不稳定系统；