深入理解堆（最大堆，最小堆及堆排序）

基本概念：

1、完全二叉树：若二叉树的深度为h，则除第h层外，其他层的结点全部达到最大值，且第h层的所有结点都集中在左子树。

2、满二叉树：满二叉树是一种特殊的的完全二叉树，所有层的结点都是最大值。

定义：

1、堆是一颗完全二叉树；

2、堆中的某个结点的值总是大于等于（最大堆）或小于等于（最小堆）其孩子结点的值。

3、堆中每个结点的子树都是堆树。

堆的操作

假设原始数据为a[]={4,1,3,2,16,9.10.14.8.7},采用顺序存储对应的完全二叉树为：

堆的数据结构如下

struct MaxHeap
{EType *heap; //存放数据的空间，下标从1开始存储数据，下标为0的作为工作空间，存储临时数据。int MaxSize; //MaxSize是存放数据元素空间的大小int HeapSize; //HeapSize是数据元素的个数
};
MaxHeap H;

1、构造最大堆

基本思想：首先将每个叶子结点视为一个堆，再将每个叶子结点于其父节点一起构成一个包含更多结点的堆。所以在构造堆的时候，首先需要找到最后一个结点的父节点，从这个节点开始构造最大堆，直到该节点前面的所有分支节点都处理完毕。

注意：在二叉树中，若当前节点的下标为 i，则其父节点的下标为 i/2，其左子节点的下标为 i*2，其右子节点的下标为i*2+1；

2、初始化堆

void MaxHeapInit(MaxHeap &H)
{for(int i=H.HeapSize/2;i>=1;i--){H.heap[0]=H.heap[i];int son=i*2;while(son<H.HeapSize){if(son<H.HeapSize&&H.heap[son]<H.heap[son+1])son++;if(H.heap[i]>H.heap[son])break;else if(son<H.heapSize&&H.heap[son]>H.heap[son+1]{H.heap[son/2]=H.heap[son];son*=2;}}H.heap[son/2]=H.heap[0];}
}

下图是原始数据堆初始化的过程。

3、最大堆中插入节点

最大堆中插入节点，先在堆末尾插入该节点，然后按照堆的初始化过程将该节点放入到合适的位置。

void MaxHeapInsert(MaxHeap &H, EType &x)
{if(H.HeapSize==H.MaxSize) return false;int i=++H.HeapSize;while(i!=1&&x>H.heap[i/2]){H.heap[i]=H.heap[i/2];i/=2;}H.heap[i]=x;return true;
}

4\最大堆中删除节点

将最大堆的最后一个节点放到根节点，然后删除最大值，然后再把新的根节点放到合适的位置

void MaxHeapDelete(MaxHeap &H, EType &x)
{if(H.HeapSize==0) return false;x=H.heap[1];H.heap[0]=H.heap[H.HeapSize--];int i=1, son=i*2;while(son<H.HeapSize){if(son<H.HeapSize&&H.heap[son]<H.heap[son+1])son++;if(H.heap[i]>H.heap[son])break;H.heao[i]=H.heap[son];i=son;son*=2;}H.heap[i]=H.heap[0];return true;}

5、堆排序

#include<iostream>
using namespace std;void swap(int &a, int &b)
{int temp=a;a=b;b=temp;
}void quick_build(int a[], int len, int root)
{int left=root*2+1;int flag=left;while(left<len){int right=left+1;while(right<len&&a[right]>a[left])flag=right;}if(a[root]<a[flag]){swap(a[root],a[flag]);heap_build(a,len,flag);
}void quick_sort(int a[], int len)
{for(int i=len/2;i>0;i--)heap_build(a,len, i);for(int j=len-1;j>0;j--){swap(a[0],a[j]);heap_build(a,0,j);}  }

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定义：

堆的操作

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