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人字架的优化设计 一、问题描述 如图1所示的人字架由两个钢管组成，其顶点受外力2F=3×105N。已知人字架跨度2B=152 cm,钢管壁厚T=0.25cm,钢管材料的弹性模量E=2.1 MPa，材料密度p=7．8×103 kg／m，许用压应力δy =420 MPa。求钢管压应力δ不超过许用压应力 δy和失稳临界应力 δc的条件下，人字架的高h和钢管平均直径D使钢管总质量m为最小。 二、分析 设计变量：平均直径D、高度h 三 、数学建模 所设计的空心传动轴应该满足以下条件： (1)强度约束条件 (2)约束稳定性条件 (3)取值范围 四、优化方法、编程及结果分析 综合上述分析可得优化数学模型是一个具有2个设计变量，4个约束条件的有约束非线性最优化问题，属于小型优化设计，选用内点惩罚函数法，能用来求解具有不等式约束的优化问题。 内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。 五、matlab编程 1． 首先建立M文件fun.m,用来定义目标函数F(X): function f=fun(X); f=F(X); 2．一般非线性规划 其中X为n维变元向量，G(X)与Ceq(X)均为非线性函数组成的向量．用MATLAB求解上述问题，基本步骤分三步： 3． 建立主程序.求解非线性规划的函数是fmincon,命令的基本格式如下： (1) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b) (2) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq) (3) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB) (4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options) (6) [x,fval]= fmincon(…) (7) [x,fval,exitflag]= fmincon(…) (8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(…) 输出极值点 M文件 迭代的初值 参数说明 变量上下限 (1)目标函数 function f=objfun(x) B=760;T=2.5;P1=7.8e-3; f=P1*2*T*pi*x(1)*sqrt(B^2+x(2)^2); 这里把密度用P1表示，这里的B和T的单位用mm (2)约束函数 function [G,ceq]=confun(x) B=760;T=2.5;P=150000;E=2.1e5; S=P*sqrt(B^2+x(2)^2)/x(2); R=S/(pi*T*x(1)); G(1)=R-420; N=0.125*pi^2*E*(x(1)^2+T^2)/(B^2+x(2)^2); G(2)=R-N; ceq=[]; (3)搜索 x0=[100;700]; vlb=[0;0];vub=[]; options=optimset('Display','iter'); [x,fval]=fmincon('objfun',x0,[],[],[],[],vlb,vub,'confun',options) Max Line search Directional First-order Iter F-count f(x) constraint steplength derivative optimality Procedure 0 3 12659.6 -100 1 7 9923.05 -60.05 0.5 -5.45e+003 1.9e+003 2 11 9098.35 -27.34 0.5 -1.65e+003 751 Hessian modified 3 14 8465.22 2.041 1 -633 44 4 17 8505.22