【洛谷】P4139 上帝与集合的正确用法
题目描述
根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:
第一天,上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”。
第二天,上帝创造了一个新的元素,称作“α”。“α”被定义为“元”构成的集合。容易发现,一共有两种不同的“α”。
第三天,上帝又创造了一个新的元素,称作“β”。“β”被定义为“α”构成的集合。容易发现,一共有四种不同的“β”。
第四天,上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合。显然,一共会有16种不同的“γ”。
如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65536种,第五种元素将会有2^65536种。这将会是一个天文数字。
然而,上帝并没有预料到元素种类数的增长是如此的迅速。他想要让世界的元素丰富起来,因此,日复一日,年复一年,他重复地创造着新的元素……
然而不久,当上帝创造出最后一种元素“θ”时,他发现这世界的元素实在是太多了,以致于世界的容量不足,无法承受。因此在这一天,上帝毁灭了世界。
至今,上帝仍记得那次失败的创世经历,现在他想问问你,他最后一次创造的元素“θ”一共有多少种?
上帝觉得这个数字可能过于巨大而无法表示出来,因此你只需要回答这个数对p取模后的值即可。
你可以认为上帝从“α”到“θ”一共创造了109次元素,或1018次,或者干脆∞次。
一句话题意
输入格式
多组数据,先输入一个整数T,接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值。
输出格式
T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值
输入样例
3
2
3
6
输出样例
0
1
4
提示
对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7
分析
学了一下欧拉定理和扩展欧拉定理
对于不互质的两个数a与b有以下关系
ak≡ak%φ(b)+φ(b)(modb)a^{k}\equiv a^{k\%{\varphi (b)}+\varphi (b)}(mod \ b)ak≡ak%φ(b)+φ(b)(mod b)
所以直接对指数递归下去做就好,模数因为是取欧拉函数所以肯定递减,模数减到1的时候就可以直接返回0了
Code
#include<cstdio>
int T;
int phi(int x)
{int ans=x;for(int i=2;1ll*i*i<=x;i++)if(x%i==0){ans=ans/i*(i-1);while(x%i==0)x/=i;}if(x!=1)ans=ans/x*(x-1);return ans;
}
int qp(int a,int k,int p)
{int res=1;while(k){if(k&1)res=1ll*a*res%p;a=1ll*a*a%p;k>>=1;}return res;
}
int solve(int p)
{if(p==1)return 0;int x=phi(p);return qp(2,solve(x)+x,p);
}
int main()
{scanf("%d",&T);for(int t=1,p;t<=T;t++)scanf("%d",&p),printf("%d\n",solve(p));
}
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