最长上升子序列 java_最长上升子序列 O(nlogn)解法 (java)

最长递增子序列问题：在一列数中寻找一些数，这些数满足：任意两个数a[i]和a[j]，若i

设dp[i]表示以i为结尾的最长递增子序列的长度，则状态转移方程为：

dp[i] = max{dp[j]+1}, 1<=j

这样简单的复杂度为O(n^2)，其实还有更好的方法。

考虑两个数a[x]和a[y]，x

按dp[t]=k来分类，只需保留dp[t]=k的所有a[t]中的最小值，设d[k]记录这个值，d[k]=min{a[t],dp[t]=k}。

这时注意到d的两个特点(重要)：

1. d[k]在计算过程中单调不升；

2. d数组是有序的，d[1]

利用这两个性质，可以很方便的求解：

1. 设当前已求出的最长上升子序列的长度为len(初始时为1)，每次读入一个新元素x：

2. 若x>d[len]，则直接加入到d的末尾，且len++；(利用性质2)

否则，在d中二分查找，找到第一个比x小的数d[k]，并d[k+1]=x，在这里x<=d[k+1]一定成立(性质1,2)。

/**

.最长递增子序列O(nlogn)算法：

.状态转移方程：f[i] = max{f[i],f[j]+1},1<=j

.分析：加入x=f[y],则x相对于y更有潜力。

.首先根据f[]值分类，记录满足f[t]=k的最小的值a[t],记d[k]=min{a[t]},f[t]=k.

. 1.发现d[k]在计算过程中单调不上升

. 2.d[1]

.解法：

.1. 设当前最长递增子序列为len,考虑元素a[i];

.2. 若d[len]

. 否则,在d[0-len]中二分查找,找到第一个比它小的元素d[k],并d[k+1]=a[i].()

.*/

/**

* Created by guojun on 2015/9/25.

public class MaxUpSequence {

public static void main(String[] args) {

int[] a = new int[20];

for (int i = 0; i < a.length; i++) {

a[i] = (int)( Math.random() * 100);

System.out.print(a[i] + "\t");

}

System.out.println();

int[] b = new int[a.length];

b[0] = a[0];

int len = findSeq(a, b);

System.out.println(len);

}

public static int BinarySerch(int key, int[] a, int low, int high) {

while (low <= high) {

int mid = low + (high - low) / 2;

if (key > a[mid] && key < a[mid + 1]) {

return mid+1;

} else if (key > a[mid]) {

low = mid + 1;

} else if (key < a[mid]) {

high = mid - 1;

}

return 0;

}

public static int findSeq(int[] a, int[] b) {

if (a.length == 1) return 1;

int len = 1;

for (int i = 1; i < a.length; i++) {

if (a[i] > b[len - 1]) {

b[len] = a[i];

len++;

} else if (a[i] < b[len - 1]) {

int j = BinarySerch(a[i], b, 0, len - 1);

b[j] = a[i];

}

return len;

}

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