求最长回文串-从动态规划到马拉车之路（上）

要解决的问题：

给定一个字符串，要求求出这个字符串中的最长的回文串子串。

例子：

cbddba的最长回文子串为 bddb

cbdedba的最长回文子串为dbedb

由上面的例子可以看到，在考虑回文子串的问题时需要考虑奇偶性。因为奇回文关于中心的某个字符对称，而偶回文关于最中心的两个元素之间的间隙对称。

一、动态规划法

在动态规划的思想中，总是希望把问题划分成相关联的子问题；然后从最基本的子问题出发来推导较大的子问题，直到所有的子问题都解决。

首先要看一个较大的子问题与一个较小的子问题之间的关系：

首先建立如下的函数：

那么就能有如下的递推关系：

当p(i+1,j-1) = true 的时候，如果有si == sj,那么 p(i,j)=true；也就是 abba中的bb为回文串，那么在bb左边是a，在bb右边也是a，相同；所以有abba也是回文串。

形式化表示如下： p(i,j) = p(i+1,j-1) and si==sj 这就建立了较大问题与较小问题之间的关系。

然后考虑基本情况，一个最基本的回文串有两种情况（奇偶性）：

（1）最基本的奇回文，只有一个字符，而且恒成立；形式化表示为 p(i,i) = true

（2）最基本的偶回文，有两个字符，当且仅当两个字符相等的时候成立p(i,j) = (si==sj and j=i+1)

最后获得如下判断一个字符是否为回文串的分段函数：

有了公式，就是用代码实现了；下面给出了我的python实现。

# -*- coding:utf-8 -*-
# Author: Evan Mi# 测试的字符串
str_exp = "babad"
# 用来保存动态规划过程的表 1表示true 0表示false
longest_palindromes = [[-1] * len(str_exp) for i in range(len(str_exp))]
# longest_len 用来保存最长的回文串的长度
longest_len = 1
# 从长度为1的回文子串开始填表
for p_len in range(1, len(str_exp)+1):for i in range(len(str_exp)):j = p_len + i - 1if j < len(str_exp):if i == j:longest_palindromes[i][j] = 1elif j == i + 1 and str_exp[i] == str_exp[j]:longest_palindromes[i][j] = 1longest_len = p_lenelif j > i+1 and longest_palindromes[i+1][j-1] == 1 and str_exp[i] == str_exp[j]:longest_palindromes[i][j] = 1longest_len = p_lenelse:longest_palindromes[i][j] = 0
# 搜索结果表，打印出所有的最优解
for i in range(len(str_exp)):for j in range(len(str_exp)):if longest_palindromes[i][j] == 1 and j-i+1 == longest_len:print(str_exp[i:j+1])

在动态规划中，最最最核心的就是填表了，就以程序中的例子"babad"举例，说明一下填表的过程；

首先我们要填的表是如下的一张表二维表（因为p函数中有i，j两个变量），其中绿色的部分是真实的表格，其他的是我家的解释表头。

填表过程如下：首先填长度为1的;

然后填长度为2的；

接着是长度为3的：

长度为4的：

最后是长度为5的：

填表完成之后，求最优解就是查询了；对于时间复杂度，动态规划的时间复杂度在构建表的过程中的基本操作，所以时间复杂度是O(n^2);空间复杂度，就是上面的二维数组，也是O(n^2)。而且从在空间浪费（主对角线下面的空间没有使用，浪费了一般的空间）。有很多针对空间上的优化方法，下面给出一种空间复杂度为O(1)的算法；

二、空间复杂度为O(1)的算法

该算法的主要思想就遍历所有的字符（下标为i）是以第i个数（对应奇回文）或者第i个数和第i+1个数之间的间隙（对应偶回文）为中心向两边扩展，直到扩展以后不再是回文，那么就停止扩展，如果回文长度比已知的最长回文长，那么记录下该回问的开始位置和结束位置为最长回文；

还是用"babad"来作为例子，过程如下：

代码实现如下：

# -*- coding:utf-8 -*-
# Author: Evan Mi
import mathdef expandAroundCenter(left, right, s):"""从left和right之间开始扩展，如果left==right就是以left/right为中心进行扩展"""rLeft = leftrRight = rightwhile rLeft >= 0 and rRight < len(s) and s[rLeft] == s[rRight]:  # 进行扩展rLeft -= 1rRight += 1"""针对于返回的长度，因为在while循环停止的时候，rLeft和rRight都已经在要求的回文串之外了所以回文串的长度为rRight - rLeft - 1，自己可以画个过程图，一目了然。"""return rRight - rLeft - 1s = "babad"
start = 0
end = 0for i in range(len(s)):odd_len = expandAroundCenter(i, i, s)  # i为中心的扩展even_len = expandAroundCenter(i, i + 1, s)  # i 和 i+1之间的空隙为中心进行扩展lens = max(odd_len, even_len)  # 取得本次扩展的最大值if lens > (end-start+1):  # 如果本次的长度比记录的回文的长度也就是end-start+1大，进行替换# 需要注意的是，已经知道了位置i,不管是以i为中心扩展了长为lens的回文还是# 以i和i+1的空隙为中心扩展了长为lens的回文。下面的start和end的计算方法都成立start = i - math.floor((lens - 1) / 2) end = i + math.floor(lens/2)print(start, ":", end)
print(s[start:end+1])

这里时间复杂度并没有改变，但是我们的空间复杂度变成了O(1)。但是也带来了明显的缺陷，那就是只能求的第一个出现的最优解。额，如果把 if lens > (end-start+1) 改为 if lens >= (end-start+1)，那么能求最后出现的最优解。

这两个算法不论在空间、结果上有什么不同，它们的时间复杂度都是相同的；接下来就分析一下“马拉车”算法，该算法把时间复杂度降到了线性范围内。额，请见下篇博客。

PS：很多人都分析了"马拉车"算法，但是也阻挡不了我征服它的步伐。相信自己对它一定有独到的见解。

求最长回文串-从动态规划到马拉车之路（上）相关推荐

求最长回文串-从动态规划到马拉车之路（下）
预备知识: (1)在一个数轴上有两点i和j(i<=j)关于点m对称,那么有 i = 2m-j: 证明: 因为 i<=j 且 i 和 j 关于 m 对称,那么有 (i + j)/ 2 = m ...
最长回文 HDU - 3068（求最长回文串的长度【马拉车算法Manacher】）
马拉车算法 Manacher's Algorithm 是用来查找一个字符串的最长回文子串的线性方法,由一个叫 Manacher 的人在 1975 年发明的,这个方法的最大贡献是在于将时间复杂度提升到了 ...
Manacher算法 - 求最长回文串的利器
求最长回文串的利器 - Manacher算法 Manacher主要是用来求某个字符串的最长回文子串. 不要被manacher这个名字吓倒了,其实manacher算法很简单,也很容易理解,程序短,时间复 ...
hdu 3068 最长回文（Manacher算法求最长回文串）
参考博客:Manacher算法--O(n)回文子串算法 - xuanflyer - 博客频道 - CSDN.NET 从队友那里听来的一个算法,O(N)求得每个中心延伸的回文长度.这个算法好像比较偏门, ...
求最长回文子串——C++ (动态规划+暴力解法)
声明:本文原题主要来自力扣,记录此博客主要是为自己学习总结,不做任何商业等活动! 一.题目描述给你一个字符串 s,找到 s 中最长的回文子串. 示例 1: 输入:s = "babad&qu ...
字符串处理 —— 回文串相关 —— 求最长回文子串
[暴力枚举] 求最长回文串最容易的方法就是暴力枚举,求出字符串的每一个子串,然后判断是不是回文,找到最长的那个回文串求每一个子串的时间复杂度为 O(N^2),判断一个子串是不是回文时间复杂度为 O( ...
python求最大回文数_python最长回文串算法
给定一个字符串,要求在这个字符串中找到符合回文性质的最长子串.所谓回文性是指诸如 "aba","ababa","abba"这类的字符串,当然 ...
判断回文串，最长回文串方法
1.判断回文串回文串就是从左看与从右看都是一样的字符串,例如abcba,acddca 判断一个字符串是否为回文串:如判断s=abcdcba是否为回文串,只要看s以中间位分界线,s的左右两边是否相等即 ...
最长回文串--动态规划
最长回文串–动态规划参考:https://writings.sh/post/algorithm-longest-palindromic-substring class Solution {publi ...

求最长回文串-从动态规划到马拉车之路（上）

求最长回文串-从动态规划到马拉车之路（上）相关推荐

最新文章

热门文章