数值分析思考题（钟尔杰版）参考解答——第六章

1. 数据拟合问题与数据插值与问题有何差异？
2. 曲线拟合的线性模型是不是线性函数？
3．何谓超定方程组，如何求超定方程组最小二乘解？
4．超定方程组: GX=F 导出正规方程组系数矩阵 (GTG)有哪些性质？
5．超定方程组的最小二乘解是否满足超定方程组？
6．三点数值平滑公式与数据拟合方法有何联系？
7．叙述连续函数的多项式平方逼近概念
8. 比较函数的2-范数与向量的2-范数
9．希尔伯特矩阵是否为正定矩阵？如何证明？
10．选用正交多项式做连续函数的平方逼近有何优点？

1. 数据拟合问题与数据插值与问题有何差异？

数据拟合问题要求拟合函数与被拟合函数在所有结点处的误差在总体上达到最小；而插值问题则要求插值函数与被插值函数在每一个插值结点处的误差均为零。

2. 曲线拟合的线性模型是不是线性函数？

不一定是线性函数, 如: φ(x)=a0+a1cos⁡(π12x)+a2sin⁡(π12x)\varphi(x)=a_0+a_1 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)+a_2 \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)φ(x)=a0+a1cos(12πx)+a2sin(12πx) 就不是线性函数

3．何谓超定方程组，如何求超定方程组最小二乘解？

方程组中方程个数多于末知数个数的这一类方程组被称为超定方程组。可利用残差对于一般的超定方程组 Ax=bA x=bAx=b, 可利用残差 r=Ax−br=A x-br=Ax−b 取 2-范数, 建立最小值问题求解。其算法的主要过程是, 求出方程组系数矩阵的转置矩阵 ATA^TAT 然后计算矩阵 D=ATAD=A^T AD=ATA 和向量 f=ATbf=A^T bf=ATb, 最后求解正规方程组 Dx=fD x=fDx=f, 由此得超定方程组的最小二乘解。

4．超定方程组: GX=F 导出正规方程组系数矩阵 (GTG)有哪些性质？

矩阵是方阵，矩阵是对称矩阵，矩阵是正定矩阵，当G的列向量线性无关时矩阵可逆

5．超定方程组的最小二乘解是否满足超定方程组？

一般情况下，超定方程组没有解，超定方程组的最小二乘解它实际上是一种广义解，所以如果超定方程组退化为正常的适定方程组（即G是可逆方阵），则最小二乘解也就回归到经典意义的解。

6．三点数值平滑公式与数据拟合方法有何联系？

三点数据平滑公式本质上针对三个数据点，取线性函数做数据拟合，导出的计算公式为三个相邻数据的算术平均

7．叙述连续函数的多项式平方逼近概念

设函数 f(x)f(x)f(x) 为 [a,b][\mathrm{a}, \mathrm{b}][a,b] 上的连续函数, 若存在
S∗(x)∈span⁡{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}S^*(x) \in \operatorname{span}\left\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \ldots, \varphi_n(x)\right\} S∗(x)∈span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}
使得 ∫abρ(x)[f(x)−S∗(x)]2dx=min⁡a≤x≤b∫abρ(x)[f(x)−S(x)]2dx\int_a^b \rho(x)\left[f(x)-S^*(x)\right]^2 d x=\min _{a \leq x \leq b} \int_a^b \rho(x)[f(x)-S(x)]^2 d x∫abρ(x)[f(x)−S∗(x)]2dx=mina≤x≤b∫abρ(x)[f(x)−S(x)]2dx
其中 S∗(x)=span⁡{1,x,x2,x3,…,xn}S^*(x)=\operatorname{span}\left\{1, x, x^2, x^3, \ldots, x^n\right\}S∗(x)=span{1,x,x2,x3,…,xn} 表示由基底 1,x,x2,x3,…,xn1, x, x^2, x^3, \ldots, x^n1,x,x2,x3,…,xn 生成的普通多项式的集合, 则称 S∗(x)S^*(x)S∗(x) 是 f(x)f(x)f(x) 在集合 span⁡{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)}\operatorname{span}\left\{\varphi_0(x), \varphi_1(x), \ldots, \varphi_n(x)\right\}span{φ0(x),φ1(x),…,φn(x)} 中的最佳平方逼近函数。

8. 比较函数的2-范数与向量的2-范数

向量范数：向量x的2-范数是x中各个元素平方之和再开根号；
函数范数：函数f(x)的2-范数是x在区间（a,b）上f(x)的平方的积分再开根号。

9．希尔伯特矩阵是否为正定矩阵？如何证明？

希尔伯特矩阵是正定矩阵, 证明:
设 f(t)=∑i=1nxiti−1,X=[x1,x2,…,xn]Tf(t)=\sum_{i=1}^n x_i t^{i-1}, X=\left[x_1, x_2, \ldots, x_n\right]^Tf(t)=∑i=1nxiti−1,X=[x1,x2,…,xn]T,
A\mathrm{A}A 为 n\mathrm{n}n 阶希尔伯特矩阵, 则对于 X≠0X \neq 0X=0, 一定有
∫01(f(t))2dt>0(1)∫01(f(t))2dt=∫01(∑i=1nxiti−1)dt=∫01(∑i=1nxiti−1)(∑j=1nxjtj−1)dt=∑i=1n∑j=1n∫01xixjti−1tj−1dt=∑i=1n∑j=1nxixji+j−1=XTAX\begin{gathered} \int_0^1(f(t))^2 d t>0 (1)\\ \int_0^1(f(t))^2 d t=\int_0^1\left(\sum_{i=1}^n x_i t^{i-1}\right) d t=\int_0^1\left(\sum_{i=1}^n x_i t^{i-1}\right)\left(\sum_{j=1}^n x_j t^{j-1}\right) d t \\ =\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \int_0^1 x_i x_j t^{i-1} t^{j-1} d t=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{x_i x_j}{i+j-1}=X^T A X \end{gathered} ∫01(f(t))2dt>0(1)∫01(f(t))2dt=∫01(i=1∑nxiti−1)dt=∫01(i=1∑nxiti−1)(j=1∑nxjtj−1)dt=i=1∑nj=1∑n∫01xixjti−1tj−1dt=i=1∑nj=1∑ni+j−1xixj=XTAX
由(1)知对于任意 X≠0X \neq 0X=0, 有 XTAX>0X^T A X>0XTAX>0, 所以希尔伯特矩阵是正定的。

10．选用正交多项式做连续函数的平方逼近有何优点？

利用一般的多项式求解最佳平方逼近,当阶级数较大时容易发生病变。这是因为在求解过程中四舍五入造成的误差,使得求出的解误差很大.这时采用正交多项式作为基底可以保证解的稳定性,并且减少误差,计算起来也十分的简便。利用正交多项式的优势,将其应用于最佳平方逼近中求解最佳平方逼近多项式，这在科学研究中起到了巨大的作用。目前利用正交多项式在最佳平方逼近中的应用这一特点，在数学领域、物理领域、电学领域中都有着广泛的应用。

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