二阶常系数非齐次微分方程例题

例：求y′′+y=cos2x+2sinx的通解例：求 y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解例：求y′′+y=cos2x+2sinx的通解
解：∵β1̸=β2解：\because \beta_1 \not= \beta_2解：∵β1̸=β2
∴将方程式y′′+y=cos2x+2sinx\therefore 将方程式 y''+y= cos{2x}+2sinx∴将方程式y′′+y=cos2x+2sinx
拆成y′′+y=cos2x与y′′+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。拆成y''+y= cos{2x} 与 y''+y= 2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。拆成y′′+y=cos2x与y′′+y=2sinx两个二阶常系数非齐次微分方程。

⇒其特征方程r2=1=0的根为±i\Rightarrow 其特征方程r^2=1=0的根为\pm i⇒其特征方程r2=1=0的根为±i
易知：y′′+y=0的通解为：Y=C1cosx+C2sinx易知：y''+y= 0的通解为：Y=C_1cosx+C_2sinx易知：y′′+y=0的通解为：Y=C1cosx+C2sinx
1)1)1) y′′+y=cos2xy''+y= cos{2x}y′′+y=cos2x
⇒α=0;β=2;s=max[m,n]=0\Rightarrow \alpha=0; \beta=2; s=max[m,n]=0⇒α=0;β=2;s=max[m,n]=0
∵α±βi=±2i不是特征方程的根\because \alpha \pm \beta i=\pm2i不是特征方程的根∵α±βi=±2i不是特征方程的根
∴令:y∗=a0cos2β+b0sin2β\therefore 令 :y*=a_0cos2\beta+b_0sin2\beta∴令:y∗=a0cos2β+b0sin2β
y∗′=−2a0sin2β+2b0cos2βy*'=-2a_0sin2\beta+2b_0cos2\betay∗′=−2a0sin2β+2b0cos2β
y∗′′=−4a0cos2β−4b0sin2βy*''=-4a_0cos2\beta-4b_0sin2\betay∗′′=−4a0cos2β−4b0sin2β

⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=13;b0=0\Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得： a_0=\frac{1}{3}; b_0=0⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=31;b0=0
∴y∗=13cos2x\therefore y*=\frac{1}{3}cos{2x}∴y∗=31cos2x
2)y′′+y=2sinx2) y''+y= 2sinx2)y′′+y=2sinx

⇒α=0;β=1;s=max[m,n]=0\Rightarrow \alpha=0; \beta=1; s=max[m,n]=0⇒α=0;β=1;s=max[m,n]=0
∵α±βi=±i是特征方程的一对单共轭复根\because \alpha \pm \beta i=\pm i是特征方程的一对单共轭复根∵α±βi=±i是特征方程的一对单共轭复根
∴令:y∗=x(a1cosβ+b1sinβ)\therefore 令 :y*=x(a_1cos\beta+b_1sin\beta)∴令:y∗=x(a1cosβ+b1sinβ)
⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=−1;b0=0\Rightarrow 将y*,y*',y*'' 代入原方程求解得： a_0=-1; b_0=0⇒将y∗,y∗′,y∗′′代入原方程求解得：a0=−1;b0=0

∴y∗=−xcosx\therefore y*=-xcosx∴y∗=−xcosx
综上：y′′+y=cos2x+2sinx的通解为综上： y''+y= cos{2x}+2sinx 的通解为综上：y′′+y=cos2x+2sinx的通解为
y=C1cosx+C2sinx+13cos2x+−xcosxy= C_1cosx+C_2sinx+\frac{1}{3}cos{2x}+-xcosxy=C1cosx+C2sinx+31cos2x+−xcosx

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