一、介绍

快速傅里叶变换 (fast Fourier transform), 即利用计算机计算离散傅里叶变换（DFT)的高效、快速计算方法的统称，简称FFT。

离散傅里叶变换DFT公式：

离散余弦变换DCT公式：

二、公式推导

参考：快速傅里叶变换(FFT)的推导过程(DIT)__hxh的博客-CSDN博客_快速傅里叶变换推导

三、FFT应用

参考：快速傅里叶变换 - MATLAB fft- MathWorks 中国

1、构造一个信号

Fs = 1000;            % Sampling frequency
T = 1/Fs;             % Sampling period
L = 1500;             % Length of signal
t = (0:L-1)*T;        % Time vector，1.5 s
% 构造一个信号，包含幅值为0.7的50Hz正弦量和幅值为1的120Hz正弦量
S = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t);  % 周期T = 100ms
figure; plot(1000*t(1:200), S(1:200))      % 画2个周期
title('Signal without Noise')
xlabel('t (milliseconds)'); ylabel('X(t)');

2、构造带有噪声的信号

X = S + 2*randn(size(t));             % 用均值为0方差为4的白噪声扰乱该信号
figure; plot(1000*t(1:200), X(1:200))  % 在时域中绘制含噪信号
title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise')
xlabel('t (milliseconds)'); ylabel('X(t)');

3、带有噪声信号的FFT

Y = fft(X);        % 计算信号的傅里叶变换
P2 = abs(Y/L);     % 计算双侧频谱P2 对称的
P1 = P2(1:L/2+1);  % 单侧频谱P1
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
f = Fs*(0:(L/2))/L;  % 定义频域f
figure; plot(f, P1)  % 绘制单侧幅值频谱P1
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of X(t)')
xlabel('f (Hz)'); ylabel('|P1(f)|');

4、不带噪声信号的FFT

Y = fft(S);        % 采用原始未破坏的信号做傅里叶变换
P2 = abs(Y/L);     % 计算双侧频谱P2  对称的
P1 = P2(1:L/2+1);  % 单侧频谱P1
P1(2:end-1) = 2*P1(2:end-1);
figure; plot(f, P1)
title('Single-Sided Amplitude Spectrum of S(t)')
xlabel('f (Hz)'); ylabel('|P1(f)|');

四、DCT应用

DCT可以用于数据压缩。

clear all
clc
% 利用DCT做数据压缩
x = (1:100) + 50*cos((1:100)*2*pi/40);
X = dct(x);
[XX, ind] = sort(abs(X), 'descend');
i = 1;
while norm(X(ind(1:i))) / norm(X) < 0.99i = i + 1;
end
Needed = i;
X(ind(Needed+1:end)) = 0;
xx = idct(X);
plot([x;xx]')
legend('',['Reconstructed, N = ' int2str(Needed)],'Location','SouthEast')

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